埼玉大理数学'08年後期[4]
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲線
と点
で接する半径
の円の中心の座標を
とする。ただし、
となるように円を選ぶものとする。
，
を求めよ。ここで、曲線
と曲線
が点Pで接するとは、
，
がともに点Pを通り、その点での接線が一致することである。 (2) 
において
の最小値を与えるtの値を求めよ。また、そのときの円の中心の座標を求めよ。 (3) (2)で求めた円の中心の座標を
とするとき、連立不等式 の表す領域を図示し、その面積を求めよ。
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解答 円と放物線が接する、という問題では、円の中心は法線上にある、というところから考えるのがよいでしょう。
(1) 
点
における接線の傾きはtです。
のとき、この点における法線(接線と垂直)の傾きは、
です(2直線の平行・垂直を参照)。
円の中心は法線上にあり、円の中心と接点との距離は
ですが、法線は、x方向に
進むとy座標は1増える(直線の方程式を参照)ので、右図より、円の中心のx座標
，y座標
は、
とすると、
増減表より(関数の増減を参照)、
は
のときに最小で、このとき
(
) ......[答]このとき、
，
，円の中心の座標は
......[答]
(3) 円と放物線の位置関係が問題になります。
放物線上の点
と円の中心
との距離の2乗と、円の半径
の2乗との大小関係を調べてみます。 
よって、
において
，
において
，
，
において
ということは、右図のように、放物線と円は、
で接して
で交わり、放物線の
の部分は円の内部に、放物線の
，
の部分は円の外部にある、ということです。
また、円の中心
は、放物線と円の2つの共有点
，
の中点です。ということは、2点
，
を結ぶ線分は、円の直径です。
これより、連立不等式を満たすのは、放物線から上側であって円から内側の部分であり、右図の黄色着色部分と黄緑色着色部分を合わせた部分です。
黄色着色部分の面積は、半径
の円の面積の
で、黄緑色着色部分の面積は、
よって、求める面積は、
......[答]
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，
......[答] (
のときもこれでよい)
(
)とおくと、
