筑波大数学'08年[6]
放物線C：
上の異なる2点P
，Q
(
)における接線の交点をR
とする。
(1) X，Yをt，sを用いて表せ。
(2) 点P，Qが
を満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。
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解答 (1)で基本対称式が出てくるので、(2)を対称式になるように変形して考えます。こうしたタイプの問題では、隠れた条件に注意する必要があるのですが、この問題では、注意を忘れても影響はありません(追記を参照)。
(1) C：
微分すると、
P
における接線：
∴ 
･･･①Q
における接線：
∴ 
･･･②
①，②を連立すると、 
，
......[答]
(2) 放物線の接線がx軸に垂直になることはなく、つねに、①，②の傾きが存在するので、tanを考えることにします。
①，②とx軸のなす角をα，β とします。
，
です。右図より2接線のなす角は
(
ですが、
ではないので注意してください)で、これが
であることから、 ∴ 
･･･③(1)の結果を見れば、③を、基本対称式
，
を用いて表すのだろうと思うでしょう。ですが、
は対称式ではないので、このままではうまく行きません。そこで、2乗を考えると、
は対称式です。
なので、 従って③は、
ここに、(1)の結果、
，
を代入します。 根号部分は正なので、この式が意味をもつのは、
，つまり、 のときです。この条件のもとに分母を払って2乗すると、
整理すると、
∴ 
(ただし、
)これより点Rは双曲線上を動き、その双曲線の方程式は、 
......[答]
追記．基本対称式を用いる問題では注意するべきことがあります。条件が隠れていることがあるのです。上記で、
，
の2解になりますが、s，tは実数なので、この2次方程式は実数解をもち、判別式≧0です。
なので、この問題では、R
は放物線
から下側になければならないのですが、得られた双曲線は
から下にあるので、隠れた条件が表に出てくることはありません。
ですが、
という問題では、
，
として、
より、軌跡の方程式：
が得られますが、放物線
上の点がすべて答になるわけではありません。x，yは、tの2次方程式：
の2解で、x，y実数より、この2次方程式が実数解をもつことから、判別式：
となり、
と合わせて、
∴ 
よって、点
の軌跡は、放物線：
の
の部分、ということになります。
“x，yが実数”というところに条件が隠れていて、問題文に現れていないので注意が必要です。
また、本問では、2接線のなす角が
になっていて、2接線の交点の軌跡が双曲線になりますが、2接線が直交するのであれば、傾きの積＝
(2直線の平行・垂直を参照)より、
より、
となって、2接線の交点の軌跡は放物線
の準線
になります。
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より、
として、
が円
の周上を動くとき、点
の