東京慈恵医大数学'09年[2]
(1) 与えられた行列
(ただし
)に対して、分数関数
が定まる。 (i) 二つの行列
(ただし
)，
(ただし
)で定まる分数関数をそれぞれ
，
とする。また、二つの行列の積を とするとき、
であることが分かっている。
次の命題が成り立つことを証明せよ。 
で定まる分数関数は、合成関数
である。(2) 漸化式
(
) ･･･①と、初項
で与えられた数列
の第
項
をnを用いて表したい。
行列Aを
とし、
(
)とする。 (i) 漸化式①で与えられた数列
について、 が成り立つことを、数学的帰納法により証明せよ。
(ii) 
とする。
を求め、さらに
をnを用いて表せ。
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解答 分数タイプの漸化式を行列を用いて扱おうという問題です。
なお、漸化式の技巧、行列の累乗を参照してください。
，
です。
で定まる関数
は、 です。
よって、
で定まる分数関数は、合成関数
です。
･･･②を示します。
よって、②が成立します。
(Ⅱ) 
として、
のときに②が成立、つまり、 
･･･③が成立すると仮定します。
で定まる分数関数は、
，
として、(1)より、 です。漸化式①より、
また、③より、
と書けますが、
より、②は、
のときにも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、漸化式①で与えられた数列
について、 が成り立ちます。 (証明終)
......[答]ところで、
より、
両辺に左からP，右から
をかけて、 
......[答](iii) (ii)より、
∴ 
......[答]
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の第
項
(
)をnを用いて表せ。
，
で定まる関数
，
は、
のとき、
より、
，
，
，
なので、①より、
