神戸大経済数学'09年後期[1]
x，yを正の実数とする。△ABCにおいて、
，
，
とする。辺ABを1：yに内分する点をD，辺ACを1：xに内分する点をE，線分CD，線分BEの交点をPとする。さらに、直線APと辺BCの交点をFとおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(3) x，yが
をみたしながら動くとき、
の最小値を求めよ。
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解答 平面ベクトルの基本問題です。
B，P，Eは一直線上にあるので、sを実数として、
C，P，Dは一直線上にあるので、tを実数として、
･･･②
，
は一次独立なので、①，②の
，
の係数は一致します。
･･･③
･･･④③より、
④に代入して、
∴ 
①より、
......[答]∴ 
∴ DP：PC = y：
(2) A，P，Fは一直線にあるので、kを実数として、
･･･⑤FはBC上の点なので、
∴ 
⑤に代入すると、 
......[答]別解．チェバの定理より、
∴ 
∴ BF：FC = y：x∴ 
(3) (2)の結果で、
，
として、 
は
のときに最小値
をとります。
の最小値は、
......[答]
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を
，
，x，yを用いて表せ。
を
，
，x，yを用いて表せ。
(1) 
，
