明大理工数学'09年[4]

明大理工数学'09年[4]

a，bは実数で、

とする。xy平面上の点

から曲線

に接線を引くことができるための条件を求めたい。

(1) 曲線

上の点

における接線の傾きとy切片を求めよ。

(2)

とおく。

(a) 関数

の増減を調べ、極値を求めよ。

(b)

のとり得る値の範囲を求めよ。必要ならば、

を用いてよい。

(3) 点

から曲線

に接線を引くことができるための条件をa，bを用いた式で表せ。

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解答　ノーヒントだと厳しい問題ですが、誘導通りに進めば手が止まることはないと思います。

(1)

，

　(合成関数の微分法を参照)

における接線の傾きは、

......[答]
点

における接線の方程式は、

　･･･①

このy切片は、

......[答]

(2)(a)

(複号同順)

のとき、関数

の増減は以下の表の通り(関数の増減を参照)。

t						a
	＋	0	－	0	＋	0	－

増減表より、

のとき極大値

，

のとき極小値

，

のとき極大値

......[答]

(b) 関数

のグラフは、

を考慮して右図のようになります。グラフより、

の範囲は、

より、

......[答]

(3) 接線①が点

を通るとき、

　･･･②

これをtに関する方程式と見ると、この方程式が解をもつときに点

を通る接線を引くことができます。
この右辺はtを実数とするとき関数

で、そのとり得る値は(2)(b)で求めた通りなので、

のとき、方程式②が解をもつ、つまり、点

から曲線

に接線を引くことができるための条件は(微分法の方程式への応用を参照)、

......[答]

追記．

を2回微分すると、

これより、曲線

は、

のところに変曲点があるのですが、変曲点における接線は、

(3)の結果は、

(i)

のとき、

に接線が引けるのは、直線

から上で直線

から下の領域内の点からである。

ということを意味しています。同様に、

(ii)

のとき、直線

から上で直線

から下の領域内の点から

に接線を引くことができます。

(iii)

においては、

は

で最小値

をとるようになり、

曲線

から上で直線

から下の領域内の点から

に接線を引くことができます。

結局、曲線

(黒色実線)に接線を引くことができる点は右図水色着色部(境界線を含む)です。青色細線は直線

(変曲点における接線)です。

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