名工大数学'09年[2]
楕円
を原点を中心に反時計回りに角
だけ回転して得られる曲線をCとする。
(1) 曲線Cの方程式を求めよ。
(2) 直線
がCと共有点を持つような実数tの範囲を求めよ。 (3) すべての頂点がC上にあり、1辺がx軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ。
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解答 斜めの楕円を考えるのですが、楕円を斜めにしなくても、首を斜めにして楕円をそのままで考えることもできます。
楕円の方程式：
･･･①
は、
です(1次変換(その2)を参照)。点
に 、
を施すと、
に来ます。
(1) 求める曲線Cの方程式は
，
の関係式になりますが、既知の式はx，yの関係式①なので、
の逆変換
により、x，yを
，
を用いて、 と表し、これを①に代入するようにします。すると、
整理して、
......[答] ･･･②
(2) 本問では回転後の方程式を求めているので、(1)の結果を利用して解答しても良いのですが、一般的には、楕円を反時計回りに
回転するのではなく、楕円をそのままにして、直線
の方を
回転して考える方が便利です。 直線
はx軸に平行な直線で傾き0ですが、原点を中心に反時計回りに
回転すると、傾きは
になります。
この直線の方程式を、 
･･･③とおくと、原点との距離が
なので、 ③のcと④のtの符号は一致します。
直線③のy切片cが変化し、楕円①と共有点をもつとき、その限界において、直線③が楕円に接します。接点を
として楕円①の接線は、 この傾きは
の場合を除いて、
∴ 
接点は①上の点なので、 
，
･･･⑤
のとき、③，④より、
，
･･･⑥tが⑤と⑥の間の値をとるときに、直線
がCと共有点をもちます。
∴ 
......[答]別解．①と③を連立し、 ∴ 
とすることもできます。
また、②で
として、 
判別式：
とすることもできます。
(3) (2)と同様に楕円を回転するのではなく、直線
の方を回転して考えます。 問題文のx軸に平行な辺が乗っている直線を
とすると、これを原点を中心に反時計回りに
回転すると、③，④より、 
･･･⑧もう1頂点が楕円上を動くとき、三角形の面積が最大となるのは、この頂点における接線が⑧に平行、つまり接線の傾きが
になるときです。傾き
の接線は2本ありますが、このうち、三角形の面積が大きいのは、⑤，⑥より、もう1頂点が、
のときには
，
のときには
のときです。
楕円①はx軸に関して対称なので、
の方だけを考えることにします。三角形の高さhは、
と⑧との距離として、 三角形の底辺の長さdは、楕円①と直線③との交点のx座標の差に
をかけたものになります。⑦の2解の差は、 底辺の長さは、
よって、三角形の面積Sは、
(
)
とおくと、
において
，
において
より、
は
のときに最大(関数の増減を参照)で、Sの最大値は、
......[答]
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，
と書き換えて、
，
(複号同順)
のとき、③，④より、
･･･⑦
