長岡技科大数学'09年[2]
とする。
とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
を示せ。 (2) 
を示せ。 (3) 
，
(
)で定義される数列を
とする。
を求めよ。
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解答 分数タイプの漸化式に従う数列の極限を求める問題ですが、一般項を求めるのではなく、不等式を導いて、はさみうちに持ち込む、という誘導がついています。
(1) 
(2) 
より、
∴ 
･･･②
①，②より、
(3) (2)の結果において、
，
とすることにより、 この不等式を繰り返し用いることによって、
追記1．
，
(
)で定義される数列の一般項を考えてみます。
，
をαとおくことにより、
･･･③
，
∴ 
このαの値を用いて、
とおくと、
よって、
は、初項：
，公比：
の等比数列です。
∴ 
より、
∴ 
追記2．関数
について考えてみます。
または 
においては、
です。また、
において
は単調に減少します。とくに、
において、
･･･④
を解くと、
となりますが、
においては
となり、
なので、
の方を考えることにします。
平均値の定理より、
を満たす実数cが存在します。
においては
なので、
であれば、
であり、
は、nを大きくしていくとき、
を満たしながら単調に減少していきます。
なので、
であることに注意してください。
においては
なので、
であれば、
，
であり、
は、nを大きくしていくとき、
を満たしながら単調に増加していきます。
より、
であることに注意してください。
これより、
のときは
，
のときは
とすると、
より、
これより、
のとき
，はさみうちの原理より、
∴ 
となります。
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より
･･･①
より
，
または 
より、
とすると、
......[