長岡技科大数学'09年[2]
とする。
とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)
を示せ。 (2)
を示せ。 (3)
,
(
)で定義される数列を
とする。
を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 分数タイプの漸化式に従う数列の極限を求める問題ですが、一般項を求めるのではなく、不等式を導いて、はさみうちに持ち込む、という誘導がついています。
(1) 
(2)
より、
∴
・・・A
@,Aより、
(3) (2)の結果において、
,
とすることにより、 この不等式を繰り返し用いることによって、
追記1.
,
(
)で定義される数列の一般項を考えてみます。
,
をαとおくことにより、
・・・B 分母を払って、
,
∴ 
このαの値を用いて、
とおくと、
よって、
は、初項:
,公比:
の等比数列です。
∴ 
より、
∴ 
追記2.関数
について考えてみます。
または
においては、
です。また、
において
は単調に減少します。とくに、
において、
・・・C Bより、
を解くと、
となりますが、
においては
となり、
なので、
の方を考えることにします。
平均値の定理より、
を満たす実数cが存在します。
においては
なので、
であれば、
であり、
は、nを大きくしていくとき、
を満たしながら単調に減少していきます。
なので、
であることに注意してください。
においては
なので、
であれば、
,
であり、
は、nを大きくしていくとき、
を満たしながら単調に増加していきます。
より、
であることに注意してください。
これより、
のときは
,
のときは
とすると、
より、
これより、
のとき
,はさみうちの原理より、
∴ 
となります。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中!理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。