大阪府立大工数学'09年[5]
，
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 積分
を計算し、
をaとθ を用いて表せ。 (2) 極限
が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。 (3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
をaを用いて表せ。 (4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
をaを用いて表せ。なお、
であるすべてのxに対して が成り立つことを用いてもよい。
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解答 (4)が問題ですが、(3)を使って考えようとするとうまく行きません。問題文のヒントを利用し、面倒な計算を経て、はさみうちすることになります。
なお、“
，
”という条件は、(4)のみに対する条件でよいのではないか、と、思われます。
(1) 
より、
のとき、
，
(極限の公式を参照)より、極限
が正の値に収束するためには、まず、
，即ち、aが2以上の整数であること(
)が必要。
逆に、aが2以上の整数であるとき、
より、
，
とすると、
であるためには、さらにaが奇数であることが必要で、aが3以上の奇数であるとき、より、確かに正の値に収束します。よって、求めるaの条件は、
aが3以上の奇数であること ......[答]
(3) aが3以上の奇数のとき、
，
より、 
のとき、∴ 
......[答]
(4) まず、aが3以上の奇数であること、を用いて、(1)の計算結果に出てくる
，
を直します。
，
より、 (1)より、
･･･①
の中に
という形が出てくるのですが、(3)の結果をそのまま使うのでは、
の形になってうまく行きません(不定形の極限を参照)。
そこで、問題文のヒントの利用を考えることになります。
，
であることに注意して、問題文のヒントで、
，
とすることにより、
･･･②
･･･③
に注意して、
×②より、
･･･④
×③より、
･･･⑤④，⑤を辺々加えることにより、
･･･⑥従って、①を用いて、
より、⑥の各辺を
で割って、 ここで、
とすると、 
......[答]
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とおくと、
のとき
......[