岡山大理系数学'09年[2]
2×2行列AとBが、条件
を満たしているとする。ただし、Oは零行列を表す。このとき以下の問い(1)，(2)に答えよ。もし必要であれば、行列
に対して
･･･(＊)
(1) ある数α，βに対して
，
となることを示せ。 (2) (1)において
のとき、
を示せ。
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解答 行列の対角和をネタにした問題です。
(2)では、
，
を満たす行列が出てきますが、これを射影子(正しくは、擬射影子)と言います。スペクトル分解に出てくる行列で、任意のベクトルの固有ベクトルの方向への成分を作る働きを持っています。以下で、行列式については、逆行列を参照してください。
問題文の条件：
行列
に対して、行列Xの
成分pと
成分qの和(対角和と言います)を
と書くことにします。つまり、
です。
Xの行列式は
なので、(＊)を、
･･･②
(1) 
が存在すると仮定して、条件①の
の左から
をかけると、 
となって条件①に反するので、
は存在しません(背理法を参照)。
同様に、
が存在すると仮定して、条件①の
の左から
をかけると、
となって条件①に反するので、
も存在しません。
∴ 
よって、行列A，行列Bに②を適用すると、
，
(2) 
と(1)より、 
，
これより、
とおくと、条件①を用いて、 
･･･③また、
は、
であることを意味します。
は行列Cの
成分と
成分の和、つまり、
の
成分と
成分の和ですが、これは、行列Aの
成分と
成分の和と、行列Bの
成分と
成分の和、との和であって、 ②より、行列Cについて、
となりますが、③より、
よって、
とおいて、 
･･･④と書くことができます。再び③より、
なので、
は、④より
となって、
にはなり得ないので、不適。
よって、
④より、
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，
，
，
，
･･･①
，
とすれば、
，
となります。
