九大理系数学'09年後期[1]
nを自然数とする。
において定義された関数
について、以下の問いに答えよ。なお、必要ならば、任意の整数mについて
が成り立つことを用いてよい。
(1) 
の導関数
を求めよ。 (2) 関数
を求めよ。 (4) 
をnを用いて表せ。
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解答 
の定積分は、
とおく(置換積分を参照)と、
，
，t：
のときu：
より、
･･･①
(1) ややこしくてミスし易いので、
の原始関数を
，つまり、
として計算することにします(定積分の微分(その2)を参照)。 
......[答]
(4) (3)の漸化式を繰り返して用いることにより、
･･････
ここで
とすると、問題文の指定により、
(関数の極限を参照)∴ 
......[答]
追記．①の定積分で表されるpの関数：
をガンマ関数と言います。
自然数nに対して、
です。
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のときの
と
の間に成り立つ関係式を求めよ。
......[答]
(但し、
とします)
