九大理系数学'09年前期[2]
kは2以上の自然数とする。「1」と書かれたカードが1枚、「2」と書かれたカードが2枚、･･･、「k」と書かれたカードがk枚ある。そのうちの偶数が書かれたカードの枚数をM，奇数が書かれたカードの枚数をNで表す。この
枚のカードをよくきって1枚を取り出し、そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作をn回繰り返す。記録されたn個の数の和が偶数となる確率を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
と
をM，Nで表せ。 (2) 
を
，M，Nで表せ。 (3) 
をkで表せ。 (4) 
をnとkで表せ。
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解答 M，Nがkの偶奇で分かれますが、nに依存するわけではないので、標準的な2項間漸化式の問題です。
(1) 1回の操作で偶数を引く確率は
，奇数を引く確率は
です。よって、 
......[答]2回の操作で記録されたn個の数の和が偶数となるのは、1回目も2回目も偶数であるときと1回目も2回目も奇数であるときで、
(2) 
回目までの操作で
個の数の和が偶数となるのは、n回目までの操作でn個の数の和が偶数(確率
)であって
回目の操作で偶数のカードを取り出すときと、n回目までの操作でn個の数の和が奇数(確率
)であって
回目の操作で奇数のカードを取り出すときで、 ∴ 
......[答] ･･･①
(3)・kが奇数のとき、
・kが偶数のとき、
(4) ①において、
，
をαに置き換えて、 
･･･②これを解いて、
①－②より、
これより、
は、初項
，公比
の等比数列です。 ∴ 
(3)の結果より、kが奇数のとき、
......[答]
kが偶数のとき、
......[答]
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