東京理科大理(数理)数学'09年[4]
対数を自然対数とする。数列
(
)を
により定める。ただし、
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 (3) 曲線
とx軸および2直線
，
で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を
とする。
を求めよ。 (4) (3)で求めた
に対して、
を求めよ。 (5) (3)で求めた
に対して、不等式 
(
)が成り立つことを証明せよ。
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解答 数学Ⅲの範囲全般にわたる計算問題です。
(1) 
これより、
より
となるので、∴ 
より、 
......[答]
(2) ①より、
より
となるので、∴ 
......[答]
(2)の結果を用いて、
∴ 
......[答]
(4) 
のとき、 ∴ 
......[答]
(5) 
のとき、
より、
(証明終)この2次方程式を特性方程式とする3項間漸化式は、
･･･②です。そこで、②が成立するかどうか確かめてみると、
となるので、②が成立します。
に対して、
より
ですが、
より、
となるので、
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の形から、
が従う
，
を