旭川医大数学'10年[2]
とする。
となるtに対して、xy平面上の点P
と点Q
を通る直線を
とする。次の問に答えよ。
問1 直線
の方程式を 問2 行列
は逆行列をもつことを示せ。 問3 
，
を を満たすものとし、点R
が描く曲線をCとする。このとき、点Rは直線
上にあり、曲線Cの点Rにおける接線は
と一致することを示せ。
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解答 行列を使って記述された問題ですが、実質的には三角関数の計算問題です。
問1 直線
は、点P
を通るので、 
･･･①直線
は、点Q
を通るので、 
･･･②①×
－②×
より、 は、
より、
，よって、③より、 
......[答]①×
－②×
より、 
......[答]
問2 
として、
問3 与式より、
･･･④
･･･⑤
，
は、④，⑤を連立したときの解ですが、④は直線
の方程式にほかならないので、点R
は直線
上の点です。
④，⑤を連立させると、問2より、
なので、
，
となりますが、ここに
，
，
の具体的な形を代入し、媒介変数表示された関数の微分公式：
を用いて接線の方程式を求めるのでは大変です。
そこで、
，
が出てくるように、④を微分してみます。 
･･･⑥⑥－⑤より、
･･･⑦ここで、
となる可能性があるので困ります。 
と
は同時にゼロになることはないので、
と
も同時にゼロになることはありません。注．
なので
，つまり
は、
(
)においてゼロになります。
のとき、
となるので、
、つまり
は、少なくとも
においてゼロになります。 以下、点R
における接線上の点を
として、接線の方程式を考えます。
のとき、
で、⑦より
のとき(
)には、⑦より、 
を満たすtを
とすると、
なので、
，ということは、
における接線は、x軸に垂直で、
となります。
のとき、接線は、
･･･⑧
のとき、
，
より、
となるので、⑧は、
の場合を含んでいます。⑧は、④を用いると、
，
として、よって、曲線Cの点Rにおける接線は
と一致します。
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のとき、
，
を求めよ。
より
なので、
⇔ 
⇔ 
なので、