北大理系数学'10年後期[2]
cを実数として、以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数xに対して
となるようなcの範囲を求めよ。 (2) cは(1)で求めた範囲にあるものとする。2つの曲線
と
，および、2つの直線
と
で囲まれる図形の面積が4となるcの値を求めよ。
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解答 微積分の範囲を網羅する計算問題です。
(1) 
とおきます。
(i) 
のとき、
とすると、
，
増減表より(関数の増減を参照)、
このときは、すべての実数xについて
となります。(ii) 
のとき、
(iii) 
のとき、 
とすると、
(
)とおくと、
(
)
は
において増加で、
よって、
増減表より、
となる実数xが存在します。(i)，(ii)，(iii)より、すべての実数xに対して
となるようなcの範囲は、
......[答]
(2) 2つの曲線
と
のグラフはともにy軸に関して対称です。 ∴ 
∴ 
......[答] ((1)を満たす)
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において
になってしまいます。
とおくことにより、
，
のとき
より