熊本大医数学'10年[3]
関数 ()について、以下の問いに答えよ。
(問1) の導関数を求めよ。
(問2) の値を求めよ。
(問3) 条件， ()によって定まる数列の一般項を求めよ。


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解答　(問2)では定積分を実行しなくても(問1)を利用して解答できてしまいますが、定積分を実行するなら、部分積分のような雰囲気になります。

(問1) 　(定積分と微分(その2)を参照)

　(正接の加法定理を参照)




......[答]

(問2) (問1)より、　･･･①
の定積分の上端と下端を等しい、と、おくと、
∴
このとき、
①より、
∴
∴
別解．定積分を実行してみます。
　･･･②
とおくと、，t：のとき、u：　(置換積分を参照)


　(∵ ②)
∴
∴

(問3) (問2)より、

　･･･③　(2項間漸化式を参照)
　･･･④
③－④より、
は、初項，公比の等比数列。
∴ ......[答]


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