京都府立医大数学'10年[3]
とし、座標平面上の2つの曲線
：
，
：
を考える。
(1) 
であるとき、
と
は共有点をもたないことを示せ。 (2) 
であるとき、
と
の共有点の座標をaを用いて表せ。 (3) (2)の場合で、共有点が
の変曲点であるとき、aの値を求めよ。 (4) aが(3)の値のとき、
と
で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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解答 面倒な微積の計算問題です。慎重に計算するしかありません。
(1) 
とおきます。
･･･①
であれば、xが全実数をとるとき
なので、①を満たす実数xはありません。また、
です。従って、
なら
で
は減少、
なら
で
は増加、よって、
は
において最小値
をとります(関数の増減を参照)。とおくと、
(∵ 
)より
は単調増加で、
において、
(2) 
のとき、(1)の
について、 より、
として、①は2解
を持ちます。
は、
において、
より
は減少し、 また、
より、 増減表より、方程式
は、実数解
をもちます。また、
において
と
が接することがわかります。
のとき、②より、
のy座標はaです。
と
の共有点の座標は、
......[答]
(3) 
とすると、
このとき、
(2)より共有点のy座標はaなので、共有点が
の変曲点であるとき、
......[答]このとき、変曲点の座標は
となります。
また、
，
とy軸との交点は、
，
(
)です。
(4) (2)，(3)より、
と
は変曲点で接していて、接点以外では
が
の上にあります。 として、
，
において、
，
なので、
と
で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vは、
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とすると、
，
⇔ 
(
に注意) ･･･②
：
， 
：
は、
，
は、
より、
であって、方程式
は解を持たず
と
は共有点を持ちません。
......[