京都府立医大数学'10年[1]
Oを原点とする座標平面上の楕円C：
を考える。
点P
(ただし、
)を通る楕円Cの2つの接線を
，
とし、それらと楕円との接点をそれぞれQ，Rとする。点Qを通り
と直交する直線を
とし、点Rを通り
と直交する直線を
とする。直線
と
の交点をSとする。ただし、Qのx座標はRのx座標より大きいとする。
(1) 2点Q，Rの座標をt を用いて表せ。
(2) 点Sの座標をt を用いて表せ。
(3) t が1より大きい実数全体を動くとき、点Sの軌跡を求めよ。
(4) 
であるとき、△OPSの面積を
とする。
を求めよ。
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解答 まともに腕ずくで計算しようとすると収拾がつかなくなります。どうやって計算するか、ということが問われている問題です。なお、楕円を参照してください。
(1) 点P
を通る直線を
とおいて
と連立していくと凄まじいことになります。傾きmを持ち出さずに、直接、接点の座標を求めるようにします。 接点Q，Rの座標を
とおきます。接点は楕円C上の点なので、 
･･･①
における楕円Cの接線は、
･･･②点P
を通るので、 
なので、
･･･③を①に代入して、
整理して、
･･･④∴ 
③より、 Qのx座標はRのx座標より大きいので、
Q
，R
......[答]
(2) ここも(1)の結果をそのまま使って連立方程式を解くのでは大変です。Q，Rの座標をよく見て、計算を工夫します。Qのx座標はRのy座標の
倍、Rのx座標はQのy座標の
倍になっていることに着眼します。対称性があるので、対称式の利用を考えます。 ④の2解、つまり、Q，Rのy座標をα，β とおきます。
より
です。
④において、解と係数の関係より、 
，
･･･⑤ここで、
のときに
となることに注意します。 (i) 
，つまり
のとき、Q
，R
です。Qにおける接線
は
，Rにおける接線
は
，Qにおける法線
は
，Rにおける法線
は
(ii) 
，つまり
のとき、 Qのx座標は、③を用いて、
(∵ ⑤)同様に、Rのx座標は
です。
②より、Q
における接線
は、 この傾きは
，よって、Qにおける法線
の傾きは
，Qにおける法線
は、 
･･･⑥同様にRにおける法線
は、 
･･･⑦⑥，⑦を連立して、
(ii)の結果で
とすると、
となるので、(ii)の結果は(i)の結果を含んでいます。
よって、Sの座標は、
......[答]
(3) Sのx座標
，y座標
の間には、
という関係があります。 よりxはtの減少関数(関数の増減を参照)で、
のとき
，
のとき
これより、Sの軌跡は、直線
の
の部分 ......[答]
(4) 
のとき、Pは直線
の
の部分にあります。Sは直線
の
の部分にあります。
と
は直交するので、△OPSの面積
は、
，
(
)より、 
のとき、
(関数の極限を参照)∴ 
......[答]
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，
の交点Sの座標は
です。
より、
