大分大医数学'10年[2]
中心のxyz座標が
で半径が1の球Gと点P
に関して、点Pを通る直線が球Gと共有点をもつとき、この直線とxy平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ。また、その方程式が表す図形を実数aに関して分類せよ。
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解答 円錐を平面で切ったときの切り口は2次曲線です。
球Gの中心をC，点Pを通る直線と球Gとの共有点をA，xy平面との共有点をBとします。
Cから直線PAに下ろした垂線の足をHとすると、直線PAがCを通る場合を除いて、三角形PCHは直角三角形で、
この結果は、直線PAがCを通る場合(
)にも成立します。Hは球Gの表面上または球内の点なので、
であって、
なので、
⇔ 
･･･①
Bはxy平面上の点なので
とおくと、
これらを①に代入して、
展開して、
左辺、右辺の定数項について、
より、
外形では、不等号を等号にし、またxy平面上の図形であることから、
かつ 
......[答] ･･･①
の係数は、
の係数
が正、0，負によって分類します。
(i) 
とすると、
・
のとき、①は、直線
・
のとき、①は、
(ii) 
(iii) 
とすると、
の係数は正なので、①は、 これは双曲線です。
以上をまとめると、
のとき楕円，
のとき直線，
のとき双曲線，
のとき放物線，
のとき楕円 ......[答]
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，
の係数は正なので、①は、
