東北大理系数学'10年後期[4]
として、数列
，
，
，･･･ を
で定義する。以下の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して
が成り立つことを示せ。
(2) すべての自然数nに対して
が成り立つことを示せ。
(3) すべての自然数nに対して
を満たす正の定数αのうち、最大のものを求めよ。
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解答 (3)は、(2)から
と予測がつくので、対偶を考えることにします。高校の範囲では厳しい問題かも知れません。
(a) 
より
です。 
であれば、
よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、
です。(b) 
と仮定すると、
･･･①∴ 
よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、
です。 (c) 
より、 ∴ 
よって、すべての自然数nに対して、
です。 (d) 
より、
と仮定すると、(c)により
となり、
なので、①と同様に、∴ 
よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、
(a)～(d)より、すべての自然数nに対して、
∴ 
よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、
，つまり、
(3) (2)より、
だろう、という察しはつきますが、何をすれば、
と断定できるのかを考えなくてはいけません。 そこで、「すべての自然数nに対して
を満たす正の定数αのうち、最大のものを求めよ。」という問題文から、仮に
となれば
が満たせなくなる、ということを示すことにします。つまり、
「すべての自然数nに対して
のとき、
」という命題の対偶、「
のとき、
･･･② となる自然数nが存在する」を示すことを目標にします。
まず、
，
のとき、 つまり、
となるので、
であれば、②を満たす自然数nが存在するのは明らかです。以下、
の場合を考えます。
ところで、①において、(1)，(2)でも書いたように、
です。また、(1)の結果で
とすると、
(等比数列の極限を参照)であることと、はさみうちの原理より、
となります。αが
(
)を満たすいかなる実数であっても、nを十分に大きくとれば、 
･･･③となるような
が必ず存在します。なぜなら、③をみたす自然数nが存在しない、つまり、すべての自然数nについて、 であると仮定する(背理法については、証明の技巧を参照)と、 ここで、
なので、
は、2よりも小さなある定数です。ということは、
のとき
になり得ず、不合理です。
つまり、
のとき、③を満たす自然数nが必ず存在します。このとき、③より、 
･･･④となります。③を満たす自然数nは複数個存在するかも知れませんが、そのうちの最小のn (このnをNとします)に対する
の値をhとおきます。つまり、 
(
) ･･･⑤(1)より、すべての自然数について
なので、
となるすべての自然数nについて、
より、 
(つまり、
となるすべての自然数nについて、③，④が満たされる)
となるような自然数nについて、①と同様にして、これを繰り返し用いて、
また、(1)の結果を用いて、
，即ち、
∴ 
･･･⑥
ここで、 
･･･⑦となってくれると都合がよいのですが、
を両辺にかけると、 
･･･⑧よって、
となるαに対して，④を満たすような自然数N，⑤を満たすようなh，⑧を満たすような自然数n (
)をとると、⑥，⑦より、 よって、
のときも合わせて、
のとき、
を満たす自然数nが存在します。
従って、この命題の対偶、「すべての自然数nに対して
のとき、
」も成立し、すべての自然数nに対して
を満たす正の定数αのうち、最大のものは、
......[答] 注意．⑧を満たす自然数n (
)が存在するか、という心配がありますが、
のとき、
より、 より、
です。
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，
(
)
より、
，
と仮定すると、
より
となるので、①と同様に、
，
，
より
(
)で割ると、
