横浜国大工数学'10年後期[5]
2つの数列
，
を
で定める。次の問いに答えよ。
(1) 
に対して、 を示せ。
(2) 
に対して、
を示せ。 (3) nを2以上の自然数とする。
である自然数kに対して、 を示せ。
(4) 
に対して、
を示せ。ただし、
(
) を証明なしに用いてよい。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 以下では、
とします。(1)(4)では、二項係数の定義：
(組み合わせを参照)を使います。
(1) 
かつ 
のとき、 
かつ 
のとき、
，
かつ 
のとき、
，
のとき、
，このとき、
または
なので、
以上より、
に対して、
･･･①(1)の結果を用いて、
(Ⅰ) 
のとき、 よって、
であり、与不等式は成立します。 (Ⅱ) 
かつ 
(
)のとき、与不等式が成立するとします。つまり、 このとき、
･･･②この左辺は、
この左辺は、
よって、
∴ 
よって、
のときにも、与不等式は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nを2以上の自然数とすると、
である自然数kに対して、与不等式が成立します。 注．
のときは
に限られるので、(Ⅰ)だけで完結していることに注意してください。
(4) 
のとき、①と同様にして、 
(注．
のとき中カッコ内は0です)
(注．
のとき中カッコ内は0です)
和をとるときkが動く範囲を
としているので、上記は
の場合です。(3)の結果を用いて、 
のとき、
のとき、よって、
に対して、
追記．(2)の結果と合わせて、
となりますが、ここで、
とすると、
となることがわかります。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
，･･･，
(
)より、
をかけると、
より
なので、
(
)を用いて、以下、
のとき、
