横浜国大工数学'10年後期[5]
2つの数列
，
を
で定める。次の問いに答えよ。
(1) 
に対して、 を示せ。
(2) 
に対して、
を示せ。 (3) nを2以上の自然数とする。
である自然数kに対して、 を示せ。
(4) 
に対して、
を示せ。ただし、
(
) を証明なしに用いてよい。
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解答 以下では、
とします。(1)(4)では、二項係数の定義：
(組み合わせを参照)を使います。
(1) 
かつ 
のとき、 
かつ 
のとき、
，
かつ 
のとき、
，
のとき、
，このとき、
または
なので、
以上より、
に対して、
･･･①(1)の結果を用いて、
(Ⅰ) 
のとき、 よって、
であり、与不等式は成立します。 (Ⅱ) 
かつ 
(
)のとき、与不等式が成立するとします。つまり、 このとき、
･･･②この左辺は、
この左辺は、
よって、
∴ 
よって、
のときにも、与不等式は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nを2以上の自然数とすると、
である自然数kに対して、与不等式が成立します。 注．
のときは
に限られるので、(Ⅰ)だけで完結していることに注意してください。
(4) 
のとき、①と同様にして、 
(注．
のとき中カッコ内は0です)
(注．
のとき中カッコ内は0です)
和をとるときkが動く範囲を
としているので、上記は
の場合です。(3)の結果を用いて、 
のとき、
のとき、よって、
に対して、
追記．(2)の結果と合わせて、
となりますが、ここで、
とすると、
となることがわかります。
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，
，･･･，
(
)より、
をかけると、
より
なので、
(
)を用いて、以下、
のとき、
