横浜国大工数学'11年前期[5]
xy平面上に直線
がある。行列
の表す1次変換f は、次の(i)，(ii)，(iii)を満たす。
(i) 平面の点のf による像はすべて
上にある。 (ii) f は
上の点をすべて原点に移す。 (iii) 点Pが円
上を動くとき、f によるPの像のx座標は最大値
，最小値
をとる。 次の問いに答えよ。
(1) Aを求めよ。また
の方程式を求めよ。 (2) (iii)で最大値
をとるときのPの座標を求めよ。
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解答 1次変換の基本問題です。(i)，(ii)はAが零行列のときでも成立します。場合分けが面倒になるので、条件(iii)から考察しましょう。
(1) 条件(iii)から考えます。円の方程式を変形すると、
これより、
，
(θ は任意の角)とおく(三角関数を参照)と、 
，
･･･①f による点P
の像は、 Pの像のx座標Xは、
の場合(
の場合は、
となり、条件(iii)を満たしません)を除いて、 但し、
，
･･･③Xの最大値は、
のとき、
･･･④Xの最小値は、
のとき、
･･･⑤
④＋⑤より、
･･･⑥
④－⑤より、
より、
･･･⑦⑥，⑦より、a，bは、tの2次方程式
これより、
･･･⑧
条件(i)を考えます。直線
：
として、平面上の任意の点
のf による像は、 これが直線
上にあるので、 平面上の任意の点
について、これが成立するために、恒等式の条件より、 
，
より、
･･･⑨
また、
より、直線
：
となります。
条件(ii)を考えます。t を任意の実数として直線
上の点
のf による像は、これが原点になるので、
，
t は任意の実数なので、
より
･･･⑩ (これが成立すれば、⑨より
となります)
(2) (1)の③と⑧より、
となります。(iii)で②のXが最大値
をとるとき、
の範囲で考えると、 となるので、
(a) 
のとき、①より、 (b) 
のとき、①より、
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のとき、⑩より
，⑨より、
，
，よって、
，
：
......[答]
のとき、⑩より
，⑨より、
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のとき、
，
のとき、
，
，
，
，
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，
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