横浜国大理工数学'11年前期[4]
xy平面上の2曲線
：
と
：
は点Pを共有し、Pにおいて共通の接線をもっている。ただし、aは定数とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数
の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、
の概形を描け。ただし、
は証明なしに用いてよい。 (2) Pの座標及びaの値を求めよ。
(3) 不定積分
を求めよ。 (4) 
，
およびx軸で囲まれる部分を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
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解答 微積分に関する総合問題です。
とすると、
，
，このとき、
とすると、
，
，このとき、
，変曲点は、
......[答] (関数の凹凸を参照)
，
より、増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。
グラフは右図。
(2) 点Pのx座標をt とすると、
，
が点Pを共有することから、 
･･･①Pにおいて共通の接線をもつことから、
について
より、 ∴ 
①に代入して、 ①より、
Pの座標は、
......[答] 
......[答]
(4) 求める体積Vは、(3)の結果を用いて、
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)
，
，
∴ 
(C：積分定数) ......[答]
......[答]
