阪大理系数学'23年前期[3]
Pを座標平面上の点とし、点Pの座標を
とする。
の範囲にある実数t のうち、曲線
上の点
における接線が点Pを通るという条件をみたすものの個数を
とする。
かつ
をみたすような点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。
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解答 接線と領域の問題です。増減表を作ってから以降がややこしいですが、ていねいに場合分けして考えましょう。
を微分すると、
曲線
上の点
における接線は、
これが、点P
を通るので、
(
)とおくと、
は、曲線
と直線
の
における共有点の数です(微分法の方程式への応用(2)を参照)。
とすると、
においては
より、
，
，
，
，
，
増減表より、
となることはありません。 (ii) 
のとき、増減表は、 注．
です。 (iii) 
のとき、増減表は、 増減表より、
と
の大小関係、
と
の大小関係が問題になりますが、
より
です。
となるのは
のときで、
より、このとき
となるのは
のときです。 注．
です。 注．
です。 注．
です。 
(i)，(ii)，(iii)をまとめて、
かつ
をみたすような点Pの存在範囲は、
図示すると右図黄緑色着色部(直線
の
の太線部分を含み、他の境界線上の点、白マルを含まない)。
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，
(
)より、
となるのは、
のとき。
のとき
であって、
となるのは
のときです。
のとき
であって、
となるのは
のときです。
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
，
，
，