阪大理系数学'25年前期[3]
座標空間に3点O
，A
，P
がある。
かつ
を満たすように点Pが動くとき、
の最大値と最小値を求めよ。
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解答 動かすものが直線ではなく曲線
ですが、線形計画法の応用問題です。
となるようにPを動かすと円錐面を描きますが、この問題ではPのz座標が0なので、Pは円錐面をxy平面で切った切り口にできる楕円上を動くことになります(2次曲線の分類を参照)。
よって、
のもとに、
これは楕円です。
のとき
，
のとき
(
)なので、
より、Pの存在範囲は、楕円①の
の部分です。
kを定数として、
･･･②
の範囲では下に凸な直角双曲線で、このグラフは直線
に関して対称です。kを大きくすると、②のグラフは右上にずれます。
kを変化させて、①と②のグラフが
の範囲に共有点をもつ条件を考えます。
kが最小になるとき、②のグラフは
を通ります。このとき、
です。
kが最大になるとき、①と②のグラフが第1象限で接します。上記のように、直角双曲線②は、直線
に関して対称なので、①と②の接点も直線
上に存在します。①で
とすると、
このとき、
の最大値は
，最小値は
......[答]
別解．標準的な解法で解いてみます。②より、
を①に代入すると、 
とおきます。これより
の増減表は、
増減表より、③において、
(
)と
が共有点をもつのは
のとき(微分法の方程式への応用(2)を参照)。なお、
のグラフは右図。
，
なので
より、
の最大値は
，最小値は
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･･･①
においては、
(
)
･･･③
