東京科学大医歯学系数学'25年前期[2]
xy平面上に3点O
，A
，B
をとる。さらに、
となる整数m，nが存在するようなxy平面上の点P全体の集合をLとする。このとき、以下の各問いに答えよ。
(2) Lに属する点のうち、x軸上にあるものをすべて求めよ。
(3) 2点
，
をLの要素とする。Lの任意の要素Pに対して、
(4) 任意のLの要素Pに対して、内積
が整数となるようなxy平面上の点Q全体の集合をMとする。Mの要素のうち、x座標およびy座標の絶対値がともに1以下であるものをすべて求めよ。
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解答 ベクトルの1次独立性をネタにした整数の問題です。以下の解法はやや発見的手法ですが、Lの要素全体で
の最小値を考えるのでは大変です。
･･･①
(1) 
とすると、 
･･･②
･･･③③－②×2より、
，
整数m，nが存在するので、
とすると、 
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
･･･⑦⑦－⑥×2より、
，
整数m，nが存在するので、
よって、
と
はLに属するが、
はLに属さない ......[答]
(2) 
とすると、
･･･⑧
･･･⑨Lに属する点のうち、x軸上にあるものは、
(k：整数) ......[答]
(3) Lの要素Pは平面上に分布するので、
，
は1次独立である必要があります。つまり、
，
であり、O，
，
は一直線上にはありません。その上で、
を最小とする
，
を求めるので、
，
が1次独立であって、かつ原点の近くにある
，
を求めます。そこで、Lの要素で原点Oの近くにあるものを調べます。 (2)と同様にして、
上にあるLの要素を調べます。 となるので、⑪－⑫として、
(この解法については、不定方程式を参照)
は4の倍数で、lを整数として
とおくと、
，
⑩に代入すると、
Lに属する点のうち、
上にあるものは、
(l：整数) ･･･⑬
上にあるLの要素を調べます。 となるので、⑮－⑯として、
は4の倍数で、jを整数として
とおくと、
，
⑭に代入すると、
Lに属する点のうち、
上にあるものは、
(j：整数) ･･･⑰(2)の結果より、
上のLの要素で原点でなく原点に近いものは、
の
と
の
で、原点との距離は2です。
⑬より、
上のLの要素で原点に近いものは、
の
と
の
で、原点との距離は
です。
⑰より、
上のLの要素で原点に近いものは、
の
と
の
で、原点との距離は
です。Lの要素で、
，
，
，
よりも原点Oに近いものはありません。
そこで、
，
，
，
の4つのうちから一直線上にない2つを選びます(どのように選んでも同じ結果を与えます)。例えば、
，
とすると、Lの任意の要素は①よりm，nを任意の整数として、
として与えられますが、 としてみると、
辺々加えると、
∴ 
，
これより、整数
，
が存在します。
以上より、
の最小値は
......[答]
(4) 
，
，
とします。まず、
としてLの要素であることが確認されている、
，
を考えてみます。 
･･･⑱ (内積を参照)kは整数です。
･･･⑲lは整数です。
⑲－⑱より、
は整数です。
を満たすものは、
，
，
です。
⑲－⑱×3より、
は整数です。
を満たすものは、
，
，
です。Lの任意の要素
(m，nは整数)に対して、
として、
のとき、 は整数です。
として、
のとき、 
(複号同順)はnが奇数のとき整数になりません。
のとき、 
(複号同順)はnが奇数のとき整数になりません。
のとき、 
(複号同順)
(複号同順)は、
か
ですが、いずれも整数です。
以上より、Mの要素のうち、x座標およびy座標の絶対値がともに1以下であるものは、
，
，
，
，
(複号任意) ......[答]
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，
，
はLに属するか。それぞれ判定せよ。
，
が存在するとき、
の最小値を求めよ。
，
とすると、
とおくと、
･･･⑩
･･･⑪
･･･⑫
･･･⑭
･･･⑮
･･･⑯
か
ですが、いずれも整数です。
のとき、