種々の関数のグラフ(2)

種々の関数のグラフ(2)　　　関連問題

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無理関数のグラフを考察します。この項目では、微分の公式、関数の増減、関数の凹凸を参照してください。

例1．

このくらいなら微分する必要はありません。根号内≧0より、定義域は、

より、値域は、

xとyを入れ替えて、

という条件下で2乗すると、

∴

というわけで、

のグラフは、放物線：

(2次関数を参照)の

の部分を

に関して折り返したグラフ、つまり、

を頂点とする横に寝た放物線の軸の片側になります。
放物線であることを意識しつつ、適当にxに数値代入して点をプロットして行けばよいでしょう。右図のようなグラフになります。

例2．

根号内≧0より、定義域は、

　(合成関数の微分法を参照)　･･･①
　

とすると、

として2乗すると、

より、

のとき、

(最大値)
①を微分して、

　(商の微分法を参照)
　

(但し、

)
従って、グラフは

の範囲で上に凸な曲線になります。
増減表は以下の通り。グラフは右図(楕円です)。

x					2
	×	＋	0	－	×
y					1

注．①式を見ると、

，

です。グラフは、

においてx軸に垂直な接線

，

においてx軸に垂直な接線

をもちます。

例3．

　(積の微分法を参照)
　

とすると、

のとき、

(極大値)

の前後でも

の符号が変化することに注意してください。

のとき、

(右図のように、

のところでグラフがとがるのですが、こういう場合でも、極小値と言います。このような点を尖点と言います)

　(商の微分法を参照)
　

の前後で、

の符号が変化することに注意してください。
増減表は以下の通り。グラフは右図。

x		0				1
	＋	×	＋	0	－	×	－
	＋	×	－	－	－	×	－
y		0				0

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