種々の関数のグラフ(2) 関連問題
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無理関数のグラフを考察します。この項目では、微分の公式、関数の増減、関数の凹凸を参照してください。
例1.![](graph2.files/Eqn001.gif)
このくらいなら微分する必要はありません。根号内≧0より、定義域は、![](graph2.files/Eqn002.gif)
より、値域は、![](graph2.files/Eqn004.gif)
xとyを入れ替えて、
![](graph2.files/Eqn005.gif)
![](graph2.files/Eqn006.gif)
という条件下で2乗すると、
![](graph2.files/Eqn008.gif)
∴ ![](graph2.files/Eqn009.gif)
というわけで、
のグラフは、放物線:
(2次関数を参照)の
の部分を
に関して折り返したグラフ、つまり、
を頂点とする横に寝た放物線の軸の片側になります。
放物線であることを意識しつつ、適当にxに数値代入して点をプロットして行けばよいでしょう。右図のようなグラフになります。
例2.![](graph2.files/Eqn015.gif)
根号内≧0より、定義域は、![](graph2.files/Eqn016.gif)
(合成関数の微分法を参照) ・・・@
![](graph2.files/Eqn018.gif)
とすると、![](graph2.files/Eqn020.gif)
として2乗すると、![](graph2.files/Eqn022.gif)
より、![](graph2.files/Eqn024.gif)
のとき、
(最大値)
@を微分して、
(商の微分法を参照)
(但し、
)
従って、グラフは
の範囲で上に凸な曲線になります。
増減表は以下の通り。グラフは右図(楕円です)。
注.@式を見ると、
,
です。グラフは、
においてx軸に垂直な接線
,
においてx軸に垂直な接線
をもちます。
例3.![](graph2.files/Eqn042.gif)
![](graph2.files/Eqn043.gif)
(積の微分法を参照)
![](graph2.files/Eqn045.gif)
![](graph2.files/Eqn046.gif)
とすると、![](graph2.files/Eqn048.gif)
のとき、
(極大値)
の前後でも
の符号が変化することに注意してください。
のとき、
(右図のように、
のところでグラフがとがるのですが、こういう場合でも、極小値と言います。このような点を尖点と言います)
(商の微分法を参照)
![](graph2.files/Eqn057.gif)
![](graph2.files/Eqn058.gif)
の前後で、
の符号が変化することに注意してください。
増減表は以下の通り。グラフは右図。
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