種々の関数のグラフ(2)   関連問題


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無理関数のグラフを考察します。この項目では、微分の公式関数の増減関数の凹凸を参照してください。
1
このくらいなら微分する必要はありません。根号内≧
0より、定義域は、
より、値域は、

xyを入れ替えて、


という条件下で
2乗すると、


というわけで、のグラフは、放物線: (2次関数を参照)の部分をに関して折り返したグラフ、つまり、を頂点とする横に寝た放物線の軸の片側になります。
放物線であることを意識しつつ、適当に
xに数値代入して点をプロットして行けばよいでしょう。右図のようなグラフになります。
2
根号内≧
0より、定義域は、
 
(合成関数の微分法を参照) ・・・@
 
とすると、
として
2乗すると、
より、
のとき、
(最大値)
@を微分して、
 
(商の微分法を参照)
  (但し、)
従って、グラフはの範囲で上に凸な曲線になります。
増減表は以下の通り。グラフは右図
(楕円です)
x

2
×0×
y1
注.@式を見ると、です。グラフは、においてx軸に垂直な接線においてx軸に垂直な接線をもちます。

3

 
(積の微分法を参照)
 
 
とすると、
のとき、
(極大値)
の前後でもの符号が変化することに注意してください。のとき、 (右図のように、のところでグラフがとがるのですが、こういう場合でも、極小値と言います。このような点を尖点と言います)
 (商の微分法を参照)
 
 
の前後で、の符号が変化することに注意してください。
増減表は以下の通り。グラフは右図。

x
0

1
×0×
××
y00


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