一橋大数学'06年前期[4]
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a，bを正の定数とする。関数
のグラフと、点
を通る直線はちょうど2点P，Qを共有している。ただし、Pのx座標は負、Qのx座標は正である。
(1) 直線PQの方程式をaとbで表せ。
(2) PおよびQの座標をaとbで表せ。
(3) 
となるbが存在するようなaの値の範囲を求めよ。ただし、Oは原点である。
解答 (3)は、「
となるbが存在するような」という親切な問題文なのですぐに解答方針が立ちますが、もし、「
となるP，Qが存在するような」というような問題文だとしたら手こずるかも知れません。
3次関数のグラフと直線がちょうど2点を共有している、ということは、3次関数と直線の方程式を連立してできる3次方程式の3個の解のうち2個は重解だということです。共有点のどちらかは接点で他方は交点です。
(1) 
･･･① 微分すると、
3次関数のグラフと直線との接点のx座標をt とします。直線の方程式は、 整理して、
･･･②点
を通るので、 
は、判別式：
で実数解を持たず、実数解は、のみです。これが、3次関数のグラフと直線との接点のx座標を与えます。②で
として、直線PQの方程式は、 
......[答] ･･･③
(2) ①と③を連立すると、
整理して、
･･･④この3次方程式は
を重解にもつことがわかっているので因数分解してすぐに解くことができますが、一般的には、3次方程式の解と係数の関係を使うのが便利です。
もう1つの解をsとおくと、解と係数の関係より、 
(④の
の係数は0です)∴ 
で、Pのx座標は負、Qのx座標は正なので、Pのx座標は
，Qのx座標は
ということになります。Pが接点でQは交点です。
①より、
のとき、
のとき、
P
，Q
......[答]
(3) 直線OPの傾きは、
直線OQの傾きは、
のときには、直線OPと直線OQの傾きの積は
(2直線の平行と垂直を参照)になり、 ∴ 
これを
に関する2次方程式とみて
とおき
とすると、この2次方程式は、
より、
の範囲に少なくとも1つの実数解を持ちます。
このためには、
なので、
が実数解をもち(判別式≧0)、
の軸の位置
となることが必要十分です(2次方程式の一般論を参照)。
∴ 
かつ 
∴ 
......[答]
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