一橋大数学'10年前期[1]
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実数p，q，rに対して、3次多項式
を
と定める。実数a，c，および0でない実数bに対して、
とcはいずれも方程式
の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
(1) 
のグラフにおいて、点
における接線の傾きを
とし、点
における接線の傾きを
とする。
のとき、
と
の大小を比較せよ。 (2) さらに、a，cは整数であり、bは0でない整数であるとする。次を証明せよ。
(i) p，q，rはすべて整数である。
(ii) pが2の倍数であり、qが4の倍数であるならば、a，b，cはすべて2の倍数である。
解答 一橋大では定番の3次方程式・整数の融合問題です。なお、整数を参照してください。
(1) 3次方程式
は実数係数の方程式なので、
が解になれば、その共役複素数
も解になります(高次方程式を参照)。つまり、3次方程式
は、3個の解、
，
，cをもちます。 
･･･①
･･･②
･･･③
(微分を参照)
(接線を参照)
①を用いると、
なので、
......[答]
(2)(i) 整数同士の和、差、積は整数なので、①，②，③より、a，b，cが整数であれば、p，q，rも整数です。(証明終)
(ii) k，lを整数として、p，qは、
，
と書けます。 ①より、
∴ 
これより、cは2の倍数です。mを整数として、
と書けます。
②より、
∴ 
よって、
は4の倍数です。a，bがともに2の倍数であることを背理法により示します。a，bがともに2の倍数であることを否定すると、 (a) a，bのどちらか一方が奇数で他方は偶数。
(b) a，bのどちらも奇数。
の2通りの場合があります。
(a)では、a，bのどちらか一方が奇数で他方が偶数だとすると、
，
はどちらか一方が奇数で他方は偶数です。このとき、
は奇数となり、4の倍数になり得ません。 (b)では、j，nを整数として、
，
と書けるので、 となり、
は4で割ると2余る整数で、4の倍数になり得ません。
よって、a，bがともに2の倍数であることを否定した仮定は誤りで、a，bはともに2の倍数になります。 以上より、a，b，cは2の倍数です。
(証明終)
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