一橋大学2011年前期数学入試問題
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[1](1) 自然数x，yは、
および
をみたす。x，yの組をすべて求めよ。
(2) 自然数x，y，zは、
および をみたす。x，y，zの組をすべて求めよ。
[解答へ]
[2] 点Oを中心とする半径rの円周上に、2点A，Bを
となるようにとり
とおく。この円周上に点Cを、線分OCが線分ABと交わるようにとり、線分AB上に点Dをとる。また、点Pは線分OA上を、点Qは線分OB上を、それぞれ動くとする。
(1) 
の最小値をrとθ で表せ。 (2) 
とおく。
の最小値をaとθ で表せ。 (3) さらに、点Dが線分AB上を動くときの
の最小値をrとθ で表せ。 [解答へ]
[3] xy平面上に放物線C：
と2点A
，P
がある。線分APとCは、Aとは異なる点Qを共有している。
(1) 定数pの存在する範囲を求めよ。
(2) 
を、Cと線分AQで囲まれた領域とし、
を、C，線分QP，およびy軸とで囲まれた領域とする。
と
の面積の和が最小となるpの値を求めよ。 [解答へ]
[4] a，b，cを正の定数とする。空間内に3点A
，B
，C
がある。
(1) 辺ABを底辺とするとき、△ABCの高さをa，b，cで表せ。
(2) △ABC，△OAB，△OBC，△OCAの面積をそれぞれS，
，
，
とする。ただし、Oは原点である。このとき、不等式 が成り立つことを示せ。
(3) (2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。
[解答へ]
[5] AとBの2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
1，2，3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
4，5の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。
(1) n回目にAがサイコロを投げる確率
を求めよ。 (2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率
を求めよ。 (3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率
を求めよ。 [解答へ]
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