慶大理工数学'07年[A2]
(1) 2つの行列AとPを
，
とする。ただし、a，b，kはいずれも実数で、
であり、Pは逆行列
をもつとする。このとき、αとβ を実数として となるように定数kの値を定めると、
キ である。また、αとβ をaとbを用いて表すと、
ク ，
ケ となる。したがって、行列Aのn個の積
を とすると、a，b，nを用いて、
コ ，
サ と表すことができる。 (2) 
であるような実数tに対し、行列Aと、座標平面上の点
，
を、
，
， と定義する。このとき、すべてのnについて
を満たすtの値の範囲を不等式で表すと、 シ となる。この場合、
としても点
は原点には近づかない。
のときに点
が原点に限りなく近づくようなtの値の範囲を不等式で表すと、 ス となる。
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解答 α，β は、行列Aの固有値で、行列Aの対角化をベースにした問題ですが、等比数列の収束条件をからめた計算問題に過ぎません。基礎のしっかりした受験生なら手が止まるところはありません。
式が長くならないように、α，β，γ，δに結果を代入してしまわないで、α，β，γ，δを使って、計算を進めていくのがコツです。
(1) (キ) 
の左からPをかけると(行列の対角化を参照)、 つまり、
∴ 
･･･①， 
･･･②， 
･･･③
②×k－③より、
より、
では、
となり、
より、
が存在しなくなるので、
(逆行列を参照)∴ 
......[答](ク) ①より、
......[答](ケ) ②より、
......[答](コ) (キ)より、
の両辺をn乗すると、
，
より、
左からP，右から
をかけて、 (ク)，(ケ)より、
(サ) 
......[答]
(2) (シ) (1)のAにおいて、
，
，
，
として考えます。 より、
，
すべてのnについて
より、 ∴ 
......[答]このとき、
，
より、
のとき、
，
となり、点
は、原点に近づきません(等比数列の極限を参照)。 
......[答]
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，
，
，
......[答]
のとき、
が原点に近づくことより、
，
，
，
