慶大理工数学'08年[A2]
(1) さいころを続けてn回投げるとき、6の約数の目が奇数回出る確率を
とする。たとえば、
＝
，
＝ カ である。
のとき
と
の間には
＝ キ という関係式が成り立つ。これよりnを用いて
をあらわすと
＝
である。 (2) さいころを続けて100回投げるとき、1の目がちょうどk回 (
)出る確率は
であり、この確率が最大になるのはk＝ コ のときである。 次に、さいころを続けてn回投げるとき、1の目がちょうどk回 (
)出る確率を考える。nを固定したとき、この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は、nを サ で割ったときの余りが シ となることである。
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解答 この問題も[A1]と同様、平凡な頻出パターンの問題です。(コ)はk回出る確率と
回出る確率の比を考えます。
(1)(カ) さいころを2回投げて、6の約数の目が奇数回出るのは、1回目に1，2，3，6が出て、2回目に4，5が出るか、1回目に4，5が出て、2回目に1，2，3，6が出る場合で、その確率は、 
......[答]
(キ) n回目までで、6の約数の目が奇数回出るのは、
(i) 
回目までで、6の約数の目が奇数回出て、n回目に4，5が出る、か、 (ii) 
回目までで、6の約数の目が偶数回出て、n回目に1，2，3，6が出る、 場合です。
(ii)の確率は、
∴、
(ク) ①の
と
をαと置き換えると、 
･･･②∴ 
①－②より、 よって、
は、初項：
，公比：
の等比数列。
∴ 
∴ 
......[答]
(2)(ケ) さいころを100回投げて、1の目がちょうどk回(
)出る確率
は、
(コ) 
･･･③とすると、
∴ 
③において等号成立は
のとき(kは自然数なので、こういうことは起こらない)だけで、
だから、 これより、
が最大になるのは、
......[答] のとき。
(サシ) さいころをn回投げて、1の目がちょうどk回(
)出る確率
は、 とすると、
∴ 
･･･④
④の等号が成り立つkの値が存在しない場合、
として、 このときは、
を最大にするkの値は1個しかありません。
④の等号が成り立つkの値が存在する場合、
として、 このときは、
を最大にするkの値は、
の2個あります。
従って、
を最大にするkの値が2個存在するための必要十分条件は、
，つまり、nを6で割ったときの余りが5となることです。
よって、(サ)は6，(シ)は5 ......[答]
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