慶大理工数学'13年[4]
放物線
と直線
で囲まれた図形を、直線
のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めたい。
(1) 
とする。直線
上にあり原点Oからの距離がrとなる点のうち、x座標が0以上の点をPとする。点Pを通り直線
に垂直な直線を
とすると、
の方程式は
となる。また、点Pが放物線
上にあるのは、
と
のときである。 (2) 
とし、点Pと直線
を(1)のようにとると、直線
と放物線
の交点のうち、x座標が0以上の点をQとする。点Pと点Qの距離PQの2乗をrを用いて表すと、
となる。求める過程を解答欄(2)に書きなさい。 (3) 求める立体の体積Vが
となることを用いて、Vを求めなさい。求める過程も解答欄(3)に書きなさい。
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解答 斜回転体の体積を求める問題です。
(1) 直線
上にあって原点Oからの距離がrとなる点は、P
です。 
：
･･･①(ニ) 
......[答] ∴ 
点Pが放物線
上にあるのは、
と
のときです。(ヌ) 2 ......[答]
(2) 放物線
と直線
で囲まれた図形は、
，つまり、
の部分に位置しています。 ①と
を連立すると、
(ネ) 
......[答]
(3) 求める体積Vは、 
とおくと、r：
のとき、u：
，
，
(置換積分を参照)
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と
とを連立すると、
より、
......[答]
と垂直な直線は
