慶大理工数学'13年[5]
zを複素数とする。自然数nに対して
の実部と虚部をそれぞれ
と
として、2つの数列
，
を考える。つまり、
を満たしている。ここで、iは虚数単位である。
(1) 複素数zが、実数θ を用いて
の形で与えられたとき、任意の自然数nに対して
と
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい。 (2) 複素数zが、正の実数rと実数θ を用いて
の形で与えられたとする。このとき、数列
，
がともに0に収束するための必要十分条件を、rとθ の範囲で表すと、
となる。解答欄(2)に、
は数列
，
がともに0に収束するための十分条件であること、および必要条件であることの証明を書きなさい。 (3) 
のとき、無限級数
と
はともに収束し、それぞれの和は
，
である。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 高校範囲で扱う等比数列や無限等比級数は実数の範囲で考えますが、公比や初項が複素数になる場合でも同様の公式が成立します。
なお、複素数、ド・モアブルの定理、条件・命題を参照してください。
より、
，
よって、
のときにも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、任意の自然数nに対して、
，
が成り立ちます。
(2) 
のとき、
，
問題文の要求は「
のとき、
，
」で、このとき、
となるはずです。ですが、θ がいかなる実数であっても、任意の自然数nに対して、
となるので、
であれば、
とはなり得ません。
のときには、
なので、
，
となります。
よって、数列
，
がともに0に収束する(条件P)ための必要十分条件は、
(条件Q)です。(ノ) 
......[答](十分条件であること：Q ⇒ P) 
のとき、
と
，
より、
，
(必要条件であること：P ⇒ Q) 命題「
かつ
ならば
」の対偶「
ならば
または
」を示します。 
のとき、
なので、仮に
とすると、
となりますが、
より、
，よって、対偶が成り立つので、元の命題、つまり、必要条件であるという命題も成立します。
ところで、(1)より、
なので、
(k，mは自然数，
)を用いると、
(Mは自然数)として、 ここで、
ここで、
とすると、
より、無限等比級数は収束して、 
，
･･･①つまり、
より、 
，
一般の自然数Nについても、Nを6で割った商をMとして、
より、 
，
･･･②①と同様に、
，
より、 
，
注．上記では、複素数について不等式を作ることができず、はさみうちの原理が使えないので、実部と虚部に分けて、はさみうちにしていることに注意してください。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
のとき、
より、
，
より、成り立ちます。
のとき、
，
，
が成り立つと仮定します。
より、
，
とおくと、
，
，
，
......[