慶大理工数学'20年[5]

慶大理工数学'20年[5]

平行四辺形ABCDにおいて、

，

とし、対角線ACの長さを4とする。辺AB，BC，CD，DA上にそれぞれ点E，F，G，Hを

を満たすようにとる。ただし、xは

の範囲を動くとする。さらに、対角線AC上に点Pを

を満たすようにとる。以下では、平行四辺形ABCDの面積をSとする。

(1) △AEPの面積を

とする。

は、xを用いて表すと

となる。

(2) △EFPの面積を

とする。

は、

のとき最大値

をとる。

(3) △GHPの面積を

とする。

となるのは

のときである。

(4) 点Pが線分EH上にあるのは

のときである。

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解答　標準的な計算問題です。

(1)(テ) △ABCの面積は、

です。これより、

∴

......[答]

(2)(ト) △BEF，△CFPの面積を

，

とすると、(1)と同様にして、

とおくと(3次関数の最大最小を参照)、

x				2
	＋	0	－
				0

増減表より、

が最大になるのは、

......[答]　のとき。

(ナ) 最大値は、

......[答]

(3)(ニ) △AHP，△CGP，△DGHの面積を

，

とすると、

より、

注．組み立て除法をやってみると、

あとは、

と因数分解します。

より、

......[答]

(4)(ヌ)

　･･･②　(ベクトルの1次独立を参照)

Pが線分EH上にあるとき、

，

として、

　･･･③　(平面ベクトルの応用を参照)

②，③の

，

の係数を比較して、

，

より、

，このとき、

は、

より、

を満たすので、

......[答]

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