慶應大学理工学部2021年数学入試問題
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[1] t を実数とし、座標平面上の直線l：
を考える。
(1) 直線lはt の値によらず、定点を通る。その定点の座標は
である。
(2) 直線lの傾きを
とする。
の傾きが最小となるのは
のときであり、最大となるのは
のときである。また、aを実数とするとき、t に関する方程式
がちょうど1個の実数解をもつようなaの値をすべて求めると、
である。
(3) t が実数全体を動くとき、直線lが通過する領域をSとする。また、kを実数とする。放物線
が領域Sと共有点を持つようなkの値の範囲は
である。 [解答へ]
[2](1) 複素数αは
を満たすとする。このとき、
である。また、
となる整数s，tの組をすべて求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。
(2) 多項式
を
で割ったときの商は
，余りは
である。また、
を
で割ったときの余りは
である。 [解答へ]
[3] nを自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が
回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は、
の場合の例である。例aでは、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を終了した。例bでは、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。
| | 1回目 | 2回目 | 3回目 | 4回目 | 5回目 |
| 例a | 4 | 6 | 1 | 2 | 1 |
| 例b | 3 | 6 | 5 | | |
この実験において、Aを「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数kに対し
を「5未満の目が出た回数がちょうどkである」事象とする。一般に、事象Cの確率を
，Cが起こったときの事象Dが起こる条件付き確率を
と表す。
(1) 
のとき、
である。
(2) 
のとき、
である。
以下、
とする。
(3) 
となるkの値の範囲は、
と表すことができる。この
をnの式で表すと
である。
(4) 
とおく。
のとき、
を求めると
である。また、
とおくと
である。 [解答へ]
[4](1) aは
を満たす定数とする。
の範囲で不等式
が成り立つことを示しなさい。
(2) bを実数の定数とする。
の範囲で不等式 が成り立つようなbの最小値は
である。
(3) nとkを自然数とし、
とおく。
を求めると、
である。また である。
[解答へ]
[5] 座標平面上で、原点Oを通り、
を方向ベクトルとする直線をlとおく。ただし、
とする。
(1) 
とする。直線lの法線ベクトルで、y成分が正であり、大きさが1のベクトルを
とおく。点P
に対し、
と表す。
，
として、s，tのそれぞれをa，bについての1次式で表すと
，
である。
点P
から直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をQとする。ただし、点Pが直線l上にあるときは、点QはPとする。以下では、
とする。
(2) 線分PQの長さは、
のとき最大となる。
さらに、点R
から直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をSとする。ただし、点Rが直線l上にあるときは、点SはRとする。
(3) 線分QSを1：3に内分する点をTとおく。θが
を満たしながら動くとき、点T
がえがく軌跡の方程式は
である。
(4) 
の最大値は
である。 [解答へ]
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