慶應大学理工学部2021年数学入試問題

[1]
 t を実数とし、座標平面上の直線lを考える。

(1) 直線lt の値によらず、定点を通る。その定点の座標はである。

(2) 直線lの傾きをとする。の傾きが最小となるのはのときであり、最大となるのはのときである。また、aを実数とするとき、t に関する方程式がちょうど1個の実数解をもつようなaの値をすべて求めると、である。

(3) t が実数全体を動くとき、直線lが通過する領域をSとする。また、kを実数とする。放物線が領域Sと共有点を持つようなkの値の範囲はである。
[解答へ]


[2](1) 複素数αを満たすとする。このとき、である。また、となる整数stの組をすべて求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。

(2) 多項式で割ったときの商は,余りはである。また、で割ったときの余りはである。
[解答へ]


[3] nを自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は、の場合の例である。例aでは、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を終了した。例bでは、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

 1回目2回目3回目4回目5回目
a46121
b365  


この実験において、Aを「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数kに対しを「5未満の目が出た回数がちょうどkである」事象とする。一般に、事象Cの確率をCが起こったときの事象Dが起こる条件付き確率をと表す。

(1) のとき、である。

(2) のとき、である。

以下、とする。

(3) となるkの値の範囲は、と表すことができる。このnの式で表すとである。

(4) とおく。のとき、を求めるとである。また、とおくとである。
[解答へ]


[4](1) aを満たす定数とする。の範囲で不等式
が成り立つことを示しなさい。

(2) bを実数の定数とする。の範囲で不等式
が成り立つようなbの最小値はである。

(3) nkを自然数とし、
とおく。を求めると、である。また
である。
[解答へ]


[5] 座標平面上で、原点Oを通り、を方向ベクトルとする直線をlとおく。ただし、とする。

(1) とする。直線lの法線ベクトルで、y成分が正であり、大きさが1のベクトルをとおく。点Pに対し、と表す。として、stのそれぞれをabについての1次式で表すとである。

Pから直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をQとする。ただし、点Pが直線l上にあるときは、点QPとする。以下では、とする。

(2) 線分PQの長さは、のとき最大となる。

さらに、点Rから直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をSとする。ただし、点Rが直線l上にあるときは、点SRとする。

(3) 線分QS13に内分する点をTとおく。θを満たしながら動くとき、点Tがえがく軌跡の方程式はである。

(4) の最大値はである。
[解答へ]





   慶大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元