慶大理工数学'21年[4]
(1) aは
を満たす定数とする。
の範囲で不等式
が成り立つことを示しなさい。
(2) bを実数の定数とする。
の範囲で不等式 が成り立つようなbの最小値は
である。
(3) nとkを自然数とし、
とおく。
を求めると、
である。また である。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 (3)の積分計算が簡単にできないので、他の方法を考えることになります。(1)(2)の不等式は何のためなのか、と考えると、道が開けると思います。
(1) 
とおくと、 ∴ 
において、
より、
のグラフは上に凸で各点における接線から下側にあります。
より、
の
における接線は、
以上より、
において、
が
の
における接線、ということは、
のとき、原点を通る直線
は、
において
と交わることになります。
が
において単調増加で
のグラフが上に凸なことから、少なくとも
に極めて近いx (
，近傍と言います)においては、
となってしまいます。よって、bの最小値は
......[タ]
(3) (1)(2)の不等式を利用して、はさみうち、に持ち込みます。
被積分関数の中では、
となっているので、(2)は、xに
(
)を代入して使うことになります。(1)は、
とすると、
としても、
を満たせるのか不明です。従って
としなければならず、そうすると、ここでも、xに
を代入して使います。
つまり、(1)において
，(2)において
とし、(1)(2)においてxに
(
)を代入することにより、 
より、ここで
とすると、 はさみうちの原理より、
......[チ]
......[ツ]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2023(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
より、
，
，
，
は
において単調増加で、
とおくと、
，
