慶大理工数学'21年[4]
(1) aは
を満たす定数とする。
の範囲で不等式
が成り立つことを示しなさい。
(2) bを実数の定数とする。
の範囲で不等式 が成り立つようなbの最小値は
である。
(3) nとkを自然数とし、
とおく。
を求めると、
である。また である。
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解答 (3)の積分計算が簡単にできないので、他の方法を考えることになります。(1)(2)の不等式は何のためなのか、と考えると、道が開けると思います。
(1) 
とおくと、微分して、 ∴ 
において、
より、
のグラフは上に凸で各点における接線から下側にあります。
より、
の
における接線は、
以上より、
において、
が
の
における接線、ということは、
のとき、
が
において単調増加で
のグラフが上に凸なことと
(
)であることから、原点を通る直線
は、
において
と交わることになります。この交点のx座標を
とすると、
においては、
となってしまいます。よって、bの最小値は
......[タ]注．上記ではややいい加減に見えるかもしれません。厳格に考えるなら、まず、
とすると、
，
とすると
，
において
、
において
より
は
において最大値
をとります。よって、
，両辺に
をかけて
，
においては
，ここで
とすると、
であって、はさみうちの原理より
，これより、 つまり、
より
です。
とおき、
とすると
，
において
，
において
より、
は
において最大値
をとり、
と合わせて、方程式
は、
において解
を持ちます。このとき、
において
つまり、
となります。
ですが、試験場でこんなことやっていたら合格は無理です。慶応理工では、結果のみが問われているのでムダな時間を使わないようにしてください。
(3) (1)(2)の不等式を利用して、はさみうち、に持ち込みます。
被積分関数の中では、
となっているので、(2)は、xに
(
)を代入して使うことになります。(1)は、
とすると、
としても、
を満たせるのか不明です。従って
としなければならず、そうすると、ここでも、xに
を代入して使います。
つまり、(1)において
，(2)において
とし、(1)(2)においてxに
(
)を代入することにより、 
より、ここで
とすると、
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とおくと、
，
より、
，
，
，
は
において
......[