慶大理工数学'21[4]

(1) aを満たす定数とする。の範囲で不等式
が成り立つことを示しなさい。

(2) bを実数の定数とする。の範囲で不等式
が成り立つようなbの最小値はである。

(3) nkを自然数とし、
とおく。を求めると、である。また
である。

解答 (3)の積分計算が簡単にできないので、他の方法を考えることになります。(1)(2)の不等式は何のためなのか、と考えると、道が開けると思います。

(1) とおくと、
より、
よって、において単調増加で、
∴ 

(2) とおくと、
において、より、のグラフは上に凸で各点における接線から下側にあります。
より、における接線は、
以上より、において、
における接線、ということは、のとき、原点を通る直線は、においてと交わることになります。において単調増加でのグラフが上に凸なことから、少なくともに極めて近い
x (,近傍と言います)においては、となってしまいます。よって、bの最小値は ......[]

(3) (1)(2)の不等式を利用して、はさみうち、に持ち込みます。
被積分関数の中では、となっているので、(2)は、x ()を代入して使うことになります。(1)は、とすると、としても、を満たせるのか不明です。従ってとしなければならず、そうすると、ここでも、xを代入して使います。
つまり、
(1)において(2)においてとし、(1)(2)においてx ()を代入することにより、
より、



ここでとすると、
はさみうちの原理より、
......[]


......[]



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