慶大理工数学'21年[1]
t を実数とし、座標平面上の直線l：
を考える。
(1) 直線lはt の値によらず、定点を通る。その定点の座標は
である。
(2) 直線lの傾きを
とする。
の傾きが最小となるのは
のときであり、最大となるのは
のときである。また、aを実数とするとき、t に関する方程式
がちょうど1個の実数解をもつようなaの値をすべて求めると、
である。
(3) t が実数全体を動くとき、直線lが通過する領域をSとする。また、kを実数とする。放物線
が領域Sと共有点を持つようなkの値の範囲は
である。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 出題者の要求は、(1)(2)の結果を利用して(3)を解く、ということだろうと思います。(3)も、要求されているのは解答のみなので、細かい理論的肉付けは追及するとムダに時間を使うことになります。
(1) 直線lの式：
･･･① をt について整理すると、 
の係数、t の係数、定数項を0にすると、これらを全て満たすのは、
，
このとき、t がいかなる値をとっても、①が成立します。よって、直線lがt の値によらず通る定点の座標は、
......[ア] (定点を通る直線を参照)
(2) 直線lの傾き
は、
，
よって、増減表は、
のとき、
(関数の極限を参照)
のグラフは右図のようになります。増減表より、
を最小にするt は、
......[イ]，
を最大にするt は、
......[ウ]，グラフより、方程式
がちょうど1個の実数解を持つaの値は、
......[エ] (微分法の方程式への応用(2)を参照)
(3) 直線lは、①で
とすると、
，①で
とすると
となります。直線lは、t が実数全体を動くとき、(1)より、t の値に関わらず点
を通過し、(2)より、傾きが0から3まで変化するので、右図黄緑色着色部のような領域Sを通過します。
放物線
は、軸が
，頂点が
です。
放物線が領域Sを通過するためには、放物線が直線
，直線
のいずれかと共有点を持つことが必要十分で、直線
と共有点をもつためには、放物線の頂点のy座標が2以下であることが必要十分なので、求める条件は、
･･･② または、
と
を連立したときに実数解をもつ ･･･③
ということになります。
②より、
，
∴ 
･･･④
と
を連立して、 このxの2次方程式は実数解を持つので、判別式Dについて、 
とすると、
なので、
･･･⑤ここで、
より、
に注意し、④または⑤であれば、放物線は領域Sと共有点をもつので、
......[オ]，
......[カ]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
，
