慶大理工数学'21[1]

t を実数とし、座標平面上の直線lを考える。

(1) 直線lt の値によらず、定点を通る。その定点の座標はである。

(2) 直線lの傾きをとする。の傾きが最小となるのはのときであり、最大となるのはのときである。また、aを実数とするとき、t に関する方程式がちょうど1個の実数解をもつようなaの値をすべて求めると、である。

(3) t が実数全体を動くとき、直線lが通過する領域をSとする。また、kを実数とする。放物線が領域Sと共有点を持つようなkの値の範囲はである。

解答 出題者の要求は、(1)(2)の結果を利用して(3)を解く、ということだろうと思います。(3)も、要求されているのは解答のみなので、細かい理論的肉付けは追及するとムダに時間を使うことになります。

(1) 直線lの式: ・・・@ をt について整理すると、
の係数、tの係数、定数項を0にすると、
これらを全て満たすのは、
このとき、
tがいかなる値をとっても、@が成立します。よって、定点の座標は、 ......[]

(2) 直線lの傾きは、

t  1 
00
30

のとき、
のグラフは右図のようになります。増減表より、を最小にする
t は、 ......[]を最大にするt は、 ......[],グラフより、方程式がちょうど1個の実数解を持つaの値は、 ......[]

(3) 直線lは、@でとすると、,@でとするととなります。
直線lは、t が実数全体を動くとき、(1)より、t の値に関わらず点を通過し、(2)より、傾きが0から3まで変化するので、右図黄緑色着色部のような領域Sを通過します。
放物線は、軸が,頂点がです。
のとき、放物線が領域
S を通過するためには、頂点がの部分にあればよいので、 ∴
と合わせて、 ・・・A
のとき、放物線が領域
Sを通過するためには、放物線がと共有点を持てばよいので、両式を連立して、


このx2次方程式は実数解を持つので、判別式Dについて、
とすると、なので、
 ・・・B
AまたはBであれば、放物線は領域Sと共有点をもつので、
......[] ......[]



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