慶大理工数学'21年[2]
(1) 複素数αは
を満たすとする。このとき、
である。また、
となる整数s，tの組をすべて求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。
(2) 多項式
を
で割ったときの商は
，余りは
である。また、
を
で割ったときの余りは
である。
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解答 (1)後半は偏角の性質を使わないと解答できないので、ふだんから偏角の便利な性質を使いこなしていないとまごつくかも知れません。
(1) 
･･･① より、 
･･･②これを用いて、
これより、さらに②を用いて、
･･･③以下、複号同順で、
∴ 
......[キ]
･･･⑥
，
･･･⑦これと⑤を用いると、⑥の絶対値と偏角は、
⑤，⑦，⑧より、
nを整数として、偏角(一般角)の性質：「ある複素数zの偏角
(一般角)の一つを
として
も同一の角」により、 以上より、
，
(nは整数) ......[答]
(2) 
を実際に
で割る(多項式の除算を参照)と、右のようになり、商は
......[ク]，余りは
......[ケ]です。
後半は、
を実際に展開して除算を行うわけにはいかないので、工夫が必要です。二項定理を利用します。
，
とおくと、
より、 よって、
を
で割ったときの余りは、
......[コ]
[別解] 偏角を利用することもできます。
④より、
これより、
･･･⑨
を
で割ったときの商を
，余り(1次式)を
とすると、 ③の
の2解の複号で'＋'を
，'－'を
として(因数定理を参照)、 
･･･⑩
･･･⑪⑪－⑩より、
より、
⑩に代入すると、
∴ 
よって、
を
で割った余りは、
......[答]
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......[キ]
∴ 
･･･⑧
(∵ 3は正の実数だから、
)
(
の符号はnの正負に含める) ∴ 
(
)
，'＋'が
です。
より、
･･･④ 
･･･⑤
