慶大理工数学'21[2]

(1) 複素数αを満たすとする。このとき、である。また、となる整数stの組をすべて求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。

(2) 多項式で割ったときの商は,余りはである。また、で割ったときの余りはである。

解答 (1)後半は偏角の性質を使わないと解答できないので、ふだんから偏角の便利な性質を使いこなしていないとまごつくかも知れません。

(1)  ・・・@ より、
 ・・・A
これを用いて、
これより、さらにAを用いて、

......[]
[別解] 方程式@の解は、
 ・・・B
以下、複号同順で、

 ・・・C

 ・・・D


......[]

 ・・・E

 ・・・F
これとDを用いると、Eの絶対値と偏角は、
 ∴  ・・・G
 
( 3は実数だから、)
D,F,Gより、
nを整数として、偏角(一般角)の性質:「ある複素数zの偏角(一般角)の一つをとしても同一の角」により、
 (の符号はnの正負に含める) ∴
以上より、 (nは整数) ......[]

(2) を実際にで割ると、右のようになり、商は ......[],余りは ......[]です。
後半は、を実際に展開して除算を行うわけにはいかないので、工夫が必要です。二項定理を利用します。
とおくと、より、




 ()
よって、で割ったときの余りは、 ......[]
[
別解] 偏角を利用することもできます。
Cより、
これより、 ・・・H
で割ったときの商を,余り
(1次式)とすると、
Bの2解の複号で''''として、

Hの複号の''''です。より、
 ・・・I
 ・・・J
J−Iより、
より、
Iに代入すると、

よって、で割った余りは、 ......[]



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