慶大理工数学'21[5]

座標平面上で、原点Oを通り、を方向ベクトルとする直線をlとおく。ただし、とする。

(1) とする。直線lの法線ベクトルで、y成分が正であり、大きさが1のベクトルをとおく。点Pに対し、と表す。として、stのそれぞれをabについての1次式で表すとである。

Pから直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をQとする。ただし、点Pが直線l上にあるときは、点QPとする。以下では、とする。

(2) 線分PQの長さは、のとき最大となる。

さらに、点Rから直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をSとする。ただし、点Rが直線l上にあるときは、点SRとする。

(3) 線分QS13に内分する点をTとおく。θを満たしながら動くとき、点Tがえがく軌跡の方程式はである。

(4) の最大値はである。

解答 と一次結合の形に書いている、ということをうまく利用すると、簡単に解くことができます。解答のみの問題なので、解答が条件に合うかを確認したらあまり細部に捉われないようにしましょう。

(1) においては、です。なので、 (複号同順)となりますが、y成分は正なので、です。より、
 ・・・@
@両辺ととの内積をとると、より、
 ・・・A より、 ......[]
@両辺ととの内積をとると、より、
,Aより、 ......[]

(2) 線分PQの長さdは、点Pと直線lとの距離ですが、(1)で求めたt の絶対値のことです。
より、は、,つまり、のとき最大値をとります。 ......[]

(3) なので、は、です。,また、とおくと、
 ・・・B
B両辺ととの内積をとると、Aより、


とすると、
よってAより、,従って、点
Tの描く軌跡の方程式は、です。 ......[]

(4) です。B両辺ととの内積をとると、
,Aより、


 (αは、より、の範囲にある角)
なので、
のとき、は、より、第
4象限の角で、を満たします。よって、は、のとき、最大値 ......[]



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