慶大理工数学'21年[5]
座標平面上で、原点Oを通り、
を方向ベクトルとする直線をlとおく。ただし、
とする。
(1) 
とする。直線lの法線ベクトルで、y成分が正であり、大きさが1のベクトルを
とおく。点P
に対し、
と表す。
，
として、s，tのそれぞれをa，bについての1次式で表すと
，
である。
点P
から直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をQとする。ただし、点Pが直線l上にあるときは、点QはPとする。以下では、
とする。
(2) 線分PQの長さは、
のとき最大となる。
さらに、点R
から直線lに垂線を下ろし、直線lとの交点をSとする。ただし、点Rが直線l上にあるときは、点SはRとする。
(3) 線分QSを1：3に内分する点をTとおく。θが
を満たしながら動くとき、点T
がえがく軌跡の方程式は
である。
(4) 
の最大値は
である。
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解答 
と一次結合の形に書いている、ということをうまく利用すると、簡単に解くことができます。解答のみの問題なので、解答が条件に合うかを確認したらあまり細部に捉われないようにしましょう。
(1) 
，
･･･① 
においては、
です。
, 
なので、
(複号同順)となりますが、
のy成分は正なので、
です(①より、
です)。
より、
･･･②②両辺と
との内積をとる(t を消去します)と、
より、 
，①より、
......[テ]②両辺と
との内積をとる(sを消去します)と、
より、 
，①より、
......[ト]
(2) 線分PQの長さdは、点Pと直線lとの距離ですが、
なので(1)で求めたt の絶対値のことです。 
より、
，
は、
，つまり、
のとき最大値
をとります。
......[チ]
･･･③③両辺と
との内積をとる(qを消去します)と、①より、 
とすると、
，
よって①より、
，従って、点Tの描く軌跡の方程式は、
です。
......[ツ]
(4) 
，
です。③両辺と
との内積をとる(pを消去します)と、 
，①より、
これと[ト]の結果より、
なので、
，つまり
のとき、
は、最大値
......[ヌ]
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なので、
，
は、
です。
，また、
とおくと、
，
より、
の範囲にある角