(1) αをではない複素数とする。複素数平面上でを満たす点z全体からなる図形をCとする。Cはαがを満たすとき直線となり、を満たさないとき円となる。αがを満たさないとき、円Cの中心をαを用いて表すととなる。αがを満たすとき、直線C上の点zのうち、その絶対値が最小となるものをαを用いて表すととなる。

(2) とする。自然数a，b，cの組で、かつが自然数であるものの総数は、個である。その中での値が最大になるのはのときである。

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(1) C：より、のとき、つまり，これは原点を中心とする半径の円です。

のとき、　･･･�@

・，つまりのとき、zは2点から等距離にある点を表し、z全体は、2点を結ぶ線分の垂直二等分線です。

・のとき、zは2点からの距離の比が：1である点を表し、z全体はアポロニウスの円となり、この円は、2点を：1に内分する点Aと外分する点Bを直径の両端とする円で、中心はABの中点です。

点Aは、
点Bは、
円の中心、即ちABの中点は、

Cが直線になるのは、 .....[チ]
Cが円になるとき、中心は、 ......[ツ]
でCが直線になるとき、�@より、

　･･･�A　(∵ )
は�Aを満たさず、直線Cは原点を通りません。直線C上の点zでを最小にする点は、原点を通り直線Cと垂直な直線と直線Cとの交点です。
直線Cは2点を結ぶ線分の垂直二等分線なので、2点を結ぶ直線と垂直です。2点を結ぶ直線と平行で原点を通る直線上の点zは、t を実数として、

　･･･�B

　･･･�C

∴

......[テ]　(∵ )

(2) が自然数となるとき、が自然数なので、も自然数です。よりなので、

最も小さな自然数は1なので、であり、，即ち、です。これで、に限られます。

・のとき、が自然数なので、も自然数です。

最も小さな自然数は1なので、であり、，即ち、で、に限られます。
のとき、は自然数ですが、こうなる自然数cは、だけです。
よって、，
が自然数にならず不適です。
のとき、は自然数ですが、こうなる自然数cは、だけです。
よって、，

・のとき、が自然数です。

最も小さな自然数は1なので、であり、，，即ち、で、に限られます。
のとき、が自然数ですが、こうなる自然数cは、だけですが、を満たせず不適です。
のとき、が自然数ですが、こうなる自然数cは、だけです。
よって、，
のとき、が自然数ですが、こうなる自然数cは、だけです。
よって、，

・のとき、が自然数です。

最も小さな自然数は1なので、であり、，，即ち、で、に限られます。このとき、が自然数になる自然数cは、だけです。
よって、，

以上より、自然数a，b，cの組で、かつが自然数であるものの総数は、4個 ......[ト]
の値が最大になるのは、 ......[ナ]

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