慶大理工数学'23[5]

(1) αではない複素数とする。複素数平面上でを満たす点z全体からなる図形をCとする。Cαを満たすとき直線となり、を満たさないとき円となる。αを満たさないとき、円Cの中心をαを用いて表すととなる。αを満たすとき、直線C上の点zのうち、その絶対値が最小となるものをαを用いて表すととなる。

(2) とする。自然数abcの組で、かつが自然数であるものの総数は、個である。その中での値が最大になるのはのときである。


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解答 (1)(2)は類似する部分はありますが、関連はありません。(1)は上手に解答しないと計算が大変です(複素数平面複素数平面の図形的応用を参照)(2)は、最小の自然数は1である、という事実を用いて、範囲を絞った上で総当たりで調べる、という整数の典型問題です。

(1) Cより、のとき、つまり,これは原点を中心とする半径の円です。
のとき、 ・・・@
,つまりのとき、z2から等距離にある点を表し、z全体は、2点を結ぶ線分の垂直二等分線です。
のとき、z2からの距離の比が1である点を表し、z全体はアポロニウスの円となり、この円は、21に内分する点Aと外分する点Bを直径の両端とする円で、中心はABの中点です。
Aは、
Bは、
円の中心、即ち
ABの中点は、


Cが直線になるのは、 .....[] のとき。
Cが円になるとき、中心は、 ......[]
Cが直線になるとき、@より、



 ・・・A ( )
はAを満たさず、直線Cは原点を通りません。直線C上の点zを最小にする点は、原点を通り直線Cと垂直な直線と直線Cとの交点です。
直線
C2を結ぶ線分の垂直二等分線なので、2を結ぶ直線と垂直です。2を結ぶ直線と平行で原点を通る直線上の点zは、t を実数として、
 ・・・B
とおけます(ベクトルの2点を通る直線と同じように考えます。直線のベクトル方程式を参照)。このとき、
 ・・・C
B,CをAに代入すると、


 ( []より)
Bに代入し、を用いて、

......[]

(2) が自然数となるとき、が自然数なので、も自然数です。よりなので、
最も小さな自然数は1なので、であり、,即ち、です。これで、に限られます。
のとき、が自然数なので、()も自然数です。
最も小さな自然数は1なので、であり、,即ち、で、に限られます。
のとき、は自然数ですが、こうなる自然数
cは、だけです(のとき、であって、は自然数になり得ません)
よって、
が自然数にならず不適です。
のとき、は自然数ですが、こうなる自然数
cは、だけです(のとき、であって、は自然数になり得ません)
よって、
のとき、が自然数です。
最も小さな自然数は1なので、であり、,即ち、で、に限られます。
のとき、が自然数ですが、こうなる自然数
cは、だけですが、を満たせず不適です。
のとき、が自然数ですが、こうなる自然数
cは、だけです(のとき、は自然数ではありません。のとき、であって、は自然数になり得ません)
よって、
のとき、が自然数ですが、こうなる自然数
cは、だけです(のとき、であって、は自然数になり得ません)
よって、
のとき、が自然数です。
最も小さな自然数は1なので、であり、,即ち、で、に限られます。このとき、が自然数になる自然数cは、だけです(のとき、であって、は自然数になり得ません)
よって、
以上より、自然数abcの組で、かつが自然数であるものは、であり、その総数は、4 ......[]
の値が最大になるのは、 ......[]



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