京大理系数学'02年前期[6]
とし、aは正の数とする。複素数平面上の点，，，･･･ をつぎの条件(i)，(ii)を満たすように定める。
(i) ,　
(ii) のとき、点を原点のまわりに回転すると点に一致する。
このとき点 ()が点と一致するようなnが存在するための必要十分条件は、θ が有理数であることを示せ。


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解答　この問題は、複素数平面を想定しているので、現行課程では範囲外の問題です。有理数については、実数を参照してください。

とおきます(極形式を参照)。
(ii)より、
これより(i)を用いて、
∴
がと一致するとき、
∴ ･･･①
よって、ド・モアブルの定理により、
∴ ，
これは、mを自然数として、，つまり、のときに満たされます。
従って、は有理数です。

逆に、θ がを満たす有理数で、適当な自然数p，qを用いて、と表せたとします。
このとき、とすれば、より、
となり、①が満たされるので、となります。

よって、となるnが存在するための必要十分条件は、“θ が有理数であること”、です。


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