京大理系数学'03年前期[2]
(
)とする。点
における
の法線と、
のグラフの
の部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える。この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
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解答 
(微分の公式を参照)
従って、接線の傾きは1で、法線の傾きは
(接線・法線の公式を参照)
点
における
の法線l：
整理して、l：
求める体積Vは、lとx軸，y軸とで囲まれる部分をx軸の回りに回転して得られる円錐(底円の半径：π，高さ：π)の体積
から、lとx軸，
とで囲まれる部分をx軸の回りに回転して得られる円錐(底円の半径：
，高さ：
)の体積
を引き、さらに、
の
の部分をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積
を引いたものになります(定積分と面積を参照)。
∴ 
∴ 
......[答]
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