京大理系数学'07年前期甲[2]
x，yを相異なる正の実数とする。数列
を
，
(
)
によって定めるとき、
が有限の値に収束するような座標平面上の点
の範囲を図示せよ。
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解答 2項間漸化式の問題ですが、「x，yを相異なる正の実数とする」という制約がついているので、解き易いように配慮されています。
問題文の2項間漸化式、
の両辺を
で割ります(
です)。
より、
です。
とおくと、
･･･①
，
をαに置き換えた式
･･･②
①－②より、
これより、
は、初項：
，公比：
の等比数列。
∴ 
より、
これが有限な値に収束するために、
・
，つまり
のとき、 
より、これが有限な値に収束するために、
逆に、
かつ 
かつ 
のとき、
が有限の値に収束します。
よって、
の存在範囲は右図斜線部(境界線は、太線上を含み、点線上、白マルを除く)
注意 
，
のとき、
は言えますが、
とは限らないので注意してください(数列の極限を参照)。
の反例を挙げておくと、
，
ですが、
です。
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，つまり
のとき、
より