京大理系数学'08年甲[5]
次の式で与えられる底面の半径が2，高さが1の円柱Cを考える。
xy平面上の直線
を含み、xy平面と
の角をなす平面のうち、点
を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで二つに分けるとき、点
を含む方の体積を求めよ。
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解答 どんな問題集にも載っているようなタイプの求積問題です。定積分と体積を参照してください。
体積を求める立体をKとします。右図でクリーム色の平面Hの下側の部分になります。
Kをy軸に垂直な平面
(
)で切ると、右図のように、断面は長方形R (右図橙色の部分)になります。
平面Hをyz平面に垂直な方向から眺めると、yz平面上の直線
に重なって見えます。
のとき、
となるので、Rの縦の長さは
です。
立体をxy平面に垂直な方向から眺めると、円柱のふちは、円：
に重なって見えます。
のとき、
となるので、Rの横の長さは
です。
よって、長方形Rの面積
は、
求める体積Vは、
の範囲に立体が存在するので、
は、
とおくと(置換積分を参照)、
，両辺を微分して(陰関数の微分法を参照)、
，
，k：
のとき、t：
は、右図の緑色部分の面積に等しく(
は、円
の
の部分です)、
よって、
......[答]
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