東工大数学'02年前期[2]
楕円
の外部の点P
から引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
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解答 受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。
楕円の方程式の分母を払うと、
･･･①
から引いた2本の接線は、
の場合には、
･･･②
の場合には2本の接線の片方がx軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。
の場合、②を変形して、
これを①に代入します。以後の式変形では、
を一くくりにして行うようにしてください。
展開して整理すると、
･･･③
展開します。
整理すると、
これをmに関する2次方程式と見て、
･･･④
楕円には点Pから2本の接線が引けるのですが、これは、2次方程式④が2つの異なる解
，
をもつことを意味しています。
題意では、この2本の接線は直交すると言っています。
2本の接線の傾きは④の解、
，
ですが、直交するので、
が成り立ちます(2直線の平行・垂直を参照)。
これは、④の2解の積が
だと言っているわけで、解と係数の関係を用いて、
(ここでは
です)
･･･⑤
が原点を中心とする半径5の円周C上の点であることを意味しています。
はじめの方で、
の場合を別扱いにしていましたが、
のとき、2本の接線が垂直になるのは、
、つまり
のときです。この場合も
は⑤を満たすので、点P
は円周C上の点であって、これで、円周C上の点全てになります。
以上より、点Pの軌跡は、原点を中心とする半径5の円周 ......[答]
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