東工大数学'03年前期[1]
(1) 3次関数
(
)のグラフをCとする。原点を通る直線で、Cとちょうど2点を共有するものを2本求めよ。 (2) (1)で求めた直線のうち、傾きの大きい方を
，小さい方を
とする。Cと
が囲む部分の面積を
，Cと
が囲む部分の面積を
とおく。この二つの面積の比
：
を求めよ。
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解答 (1) 
･･･① 原点を通る直線を
･･･② とします。
①，②を連立すると、
∴ 
∴ 
または 
･･･③
①，②ともに原点を通過します。また、①，②とも1つのxの値に対して1つのyの値が対応する関数(つまり、同一のx座標のところに複数の交点ができることはない)です。よって、(2次方程式の一般論を参照)②が、Cと2点を共有する
⇔ (i) 「③が0と0以外の1解をもつ」 または (ii) 「③が
以外の重解をもつ」
(i) ③が0と0以外の1解をもつとき、
③に
を代入すると、
∴ 
このとき、③は、
∴ 
は、
なので条件を満たします。
(ii) ③が
以外の重解を有するとき、 まず、判別式：
∴ 
このとき、③は、
∴ 
(
)
は、条件を満たします。 よって、求める2本の直線は、
，
......[答]
(2) (1)で求めた2本の直線の傾きについて、
より、 です。
曲線Cは、
のとき
，
のとき
となっていることに注意してください。
は、
でCと交わり、
(
)で接するので、
において、Cの上側にあります(3次関数の増減を参照)。
よって、
とCで囲む部分の面積：
は、
でCと接し、
(
)で交わるので、
において、Cの下側にあります。
よって、
とCで囲む部分の面積：
以上より、
：
＝1：16 ......[答]
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