東工大数学'11年前期[1]
nを自然数とする。xy平面上で行列
の表す1次変換(移動ともいう)を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 原点O
を通る直線で、その直線上のすべての点が
により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し、この2直線の方程式を求めよ。 (2) (1)で得られた2直線と曲線
によって囲まれる図形の面積
を求めよ。 (3) 
を求めよ。
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解答 (1)は1次変換の問題ですが、(2)は数学Ⅱの積分の問題、(3)は数列の求和問題で、よくある3パターンの全く別の基本問題を融合させた問題です。
(1) ある直線上のすべての点が
により同じ直線上に移されるとき、その直線を、以下、不動直線と呼ぶことにします。不動直線がy軸だとして、y軸上の点を
(tは実数)とすると、 
は、
のときy軸上に来ないので、y軸は不動直線にはなり得ません。y軸以外のOを通る直線を
として、
上の点を
(tは実数)とすると、これもまた、
上の点だとすると、 tは任意の実数なので、
∴ 
これより、不動直線は2本あり、2直線の方程式は、
，
......[答]
(2) 
，
を連立すると、 
∴ 
，
を連立すると、
∴ 
求める面積は、
と
とで囲む面積から、
と
とで囲む面積を引いたものになります。
(3) 
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