東工大数学'11年前期[1]
nを自然数とする。xy平面上で行列の表す1次変換(移動ともいう)をとする。次の問いに答えよ。
(1) 原点Oを通る直線で、その直線上のすべての点がにより同じ直線上に移されるものが2本あることを示し、この2直線の方程式を求めよ。
(2) (1)で得られた2直線と曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) を求めよ。


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解答　(1)は1次変換の問題ですが、(2)は数学Ⅱの積分の問題、(3)は数列の求和問題で、よくある3パターンの全く別の基本問題を融合させた問題です。

(1) ある直線上のすべての点がにより同じ直線上に移されるとき、その直線を、以下、不動直線と呼ぶことにします。不動直線がy軸だとして、y軸上の点を (tは実数)とすると、
　(行列の積を参照)
は、のときy軸上に来ないので、y軸は不動直線にはなり得ません。
y軸以外のOを通る直線をとして、上の点を (tは実数)とすると、
これもまた、上の点だとすると、
tは任意の実数なので、

∴
これより、不動直線は2本あり、2直線の方程式は、， ......[答]

(2) ，を連立すると、
　∴
，を連立すると、
　∴
求める面積は、ととで囲む面積から、ととで囲む面積を引いたものになります。
　(定積分の公式を参照)
......[答]

(3)
　(数列の求和技法を参照)
......[答]　(数列の極限を参照)


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