東工大数学'13年前期[1]
(1) 2次方程式
の2つの解α，β に対し、
はすべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。 (2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を規約分数で表せ。
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解答 (1)は類題が'86年[1]にあります。(2)は難しくないですが、丁寧に場合の数を調べる必要があります。
のとき、①より、
，これは5の整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、①より、これは5の整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、
，
が5の整数倍であると仮定します。p，qを整数として、
，
･･･②とおけます。①，②を利用して、
は5の整数倍であって、
のときにも与えられた命題は成り立ちます。 以上より、数学的帰納法により、すべての正の整数nについて
は5の整数倍になります。 別解．3項間漸化式
の特性方程式が
になることを利用すれば、3項間漸化式を考えることもできます。 
とおくと、
，
は5の整数倍で、p，qを整数として、
，
であれば、
も5の倍数です。
(2) 6個のさいころを投げるとき、各々の目の出方は、
通りあります。 ちょうど4種類の目が出るのは、(i) 6個のうち3個が同じ目で、他の3個が互いに異なり、かつ、同じ目の3個とも異なる。か、(ii) 6個のうち2個が同じ目で、2個がこれとは異なる同じ目で、他の2個がこの2種の目と異なり、かつ、互いに異なる目になる。場合です。
(i)のとき、4種類の目の選び方が
通り。6個のうち同じ目になる3個の選び方が
通り。4種類の目の並び方が、
通り。
通りあります。 (ii)のとき、4種類の目の選び方が15通り。6個のうち同じ目になる2組の2個のさいころの選び方が、
通り(2組は区別できない)。4種類の目の並び方が24通り。
通りあります。 
......[答]
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