東京工業大学2022年前期数学入試問題

[1] abを実数とし、とする。ab
を満たしながら動くとき、を満たす複素数zがとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ。
[解答へ]


[2] 3つの正の整数abcの最大公約数が1であるとき、次の問いに答えよ。
(1) の最大公約数が1であることを示せ。
(2) の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。
[解答へ]


[3] αを満たす実数とする。およびを満たす直角三角形APBが、次の2つの条件(a)(b)を満たしながら、時刻から時刻までxy平面上を動くとする。

(a) 時刻t での点ABの座標は、それぞれABである。
(b) Pは第一象限内にある。

このとき、次の問いに答えよ。
(1) Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式をαを用いて表せ。
(2) 時刻から時刻までの間に点Pが動く道のりをαを用いて表せ。
(3) xy平面内において、連立不等式
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
[解答へ]


[4] aは正の実数とする。複素数zかつを満たしながら動くとき、複素数平面上の点が描く図形をKとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) Kが円となるためのaの条件を求めよ。また、そのときKの中心が表す複素数とKの半径を、それぞれaを用いて表せ。
(2) a(1)の条件を満たしながら動くとき、虚軸に平行で円Kの直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ。
[解答へ]


[5] aを満たす実数とし、とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 次の等式()を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
() 
(2) を満たす実数bcについて、不等式
が成り立つことを示せ。
(3) 次の試行を考える。
[試行] n個の数12,・・・,nを出目とする,あるルーレットをk回まわす。
この[試行]において、各についてiが出た回数をとし、
(**) 
が成り立つとする。このとき、(1)の等式()が成り立つことを示せ。
(4) (3)[試行]において出た数の平均値をとし、とする。(**)が成り立つとき、極限aを用いて表せ。
[解答へ]





   東工大数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元