東京工業大学2022年前期数学入試問題
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[1] a，bを実数とし、
とする。a，bが 
，
を満たす複素数zがとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ。
[解答へ]
[2] 3つの正の整数a，b，cの最大公約数が1であるとき、次の問いに答えよ。
(2) 
，
，
の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。 [解答へ]
[3] αは
を満たす実数とする。
および
を満たす直角三角形APBが、次の2つの条件(a)，(b)を満たしながら、時刻
から時刻
までxy平面上を動くとする。
(a) 時刻t での点A，Bの座標は、それぞれA
，B
である。 (b) 点Pは第一象限内にある。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式をαを用いて表せ。
(2) 時刻
から時刻
までの間に点Pが動く道のりをαを用いて表せ。 (3) xy平面内において、連立不等式
，
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
[解答へ]
[4] aは正の実数とする。複素数zが
かつ
を満たしながら動くとき、複素数平面上の点
が描く図形をKとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) Kが円となるためのaの条件を求めよ。また、そのときKの中心が表す複素数とKの半径を、それぞれaを用いて表せ。
(2) aが(1)の条件を満たしながら動くとき、虚軸に平行で円Kの直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ。
[解答へ]
[5] aは
を満たす実数とし、
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 次の等式(＊)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(＊) 
(2) 
を満たす実数b，cについて、不等式 が成り立つことを示せ。
(3) 次の試行を考える。
[試行] n個の数1，2，･･･，nを出目とする，あるルーレットをk回まわす。
この[試行]において、各
についてiが出た回数を
とし、 (＊＊) 
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(＊)が成り立つことを示せ。
(4) (3)の[試行]において出た数の平均値を
とし、
とする。(＊＊)が成り立つとき、極限
をaを用いて表せ。 [解答へ]
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の最大公約数が1であることを示せ。