東工大数学'22年前期[2]
3つの正の整数a，b，cの最大公約数が1であるとき、次の問いに答えよ。
(1) ，，の最大公約数が1であることを示せ。
(2) ，，の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。
解答　(1)は、「最大公約数が1」と考えると難しいので、否定を考え、「最大公約数が1でない」、つまり、「2以上の最大公約数をもつ」として、背理法で証明します。(2)は難問です。ここではシラミ潰しでやってみます。

(1) ，，が2以上の公約数mを持つと仮定します。d，e，fを自然数として、
，，
とおけます。a，b，cは3次方程式：

　･･･①
の解です。
は①の解なので、
よって、
つまり、aはmの倍数です。
は①の解なので、
よって、
つまり、bはmの倍数です。
は①の解なので、
よって、
つまり、cはmの倍数です。
よって、a，b，cは2以上の公約数mを持つことになり、最大公約数が1という条件と矛盾します。よって、，，が2以上の公約数mを持つとした仮定は誤りです。即ち、，，の最大公約数は1です。

(2) ，，とおくと、
因数分解の公式：より、
k，n，dが公約数jを持つとすると、p，q，rを自然数として、
，，　･･･②
とおけます。
　∴ 　･･･③
　･･･④
∴ 　･･･⑤
jが5よりも大きい素数だとすると、jは2，3と互いに素なので、②，③，⑤より、k，l，mはjの倍数となり(2)に反します。よって、k，n，dは5以上の素数を公約数に持ちません。

のとき、②，③，⑤より、，，　･･･⑥
これより、lは3の倍数です。rがsを自然数として、とおけるとき、⑥より、
このとき、k，l，mは3の倍数となり(2)に反します。
またならば、②より、dは3の倍数ですが、9の倍数ではありません。つまり、k，n，dの最大公約数が9になることはありません。
とおけるとき、⑥より、
より、は3で割ると1余る数です。
例えば、のとき、となりmは3で割ると1余りますが、このとき、，，は、最大公約数3です。
，のとき、となりmは3で割ると1余りますが、このとき、，，の最大公約数は6です。
とおけるとき、⑥より、
は3で割ると2余る数ですが、⑥でが3の倍数になるのは、a，b，cがいずれも3で割って2余る数のときです。例えば、のとき、，，の最大公約数は6です。

のとき、②，③，⑤より、，，　･･･⑦
k，mは偶数ですが、仮にqが偶数だとするとlも偶数で、k，l，mが公約数2をもつことになり(2)に反します。よってqは奇数ですが、このとき、は偶数ですが4の倍数にはなりません。つまり、k，n，dの最大公約数が4になることはありません。
，が偶数で、が奇数となるのは、a，b，cのいずれか1個だけが偶数、他が奇数の場合です。例えば、，，の場合、，，の最大公約数は2です。

以上より、，，は、5以上の素数を公約数に持つことはなく、2，3を公約数に持つことはあっても、，を公約数に持つことはなく、最大公約数となる可能性のある正の整数は、1，2，3，6だけです。公約数が5以上の素数になることはないので、a，b，cの1つが5のとき(が5の倍数)、例えば、，のとき、，，の最大公約数は1になります(他にも、，のとき、，，のとき、など)。
，，の最大公約数となるような正の整数は、
1 (例えば，のとき)，2 (例えば，，のとき)，3 (例えばのとき)，6 (例えばのとき) ......[答]
注．問題の要求は、最大公約数となる正の整数を求めることで、最大公約数が1，2，3，6以外にはならないことを示し、最大公約数が1，2，3，6になる例を各々1つ挙げればよく、どういう場合に最大公約数が1，2，3，6になるか、ということではないので注意してください。


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