東工大数学'22年前期[2]
3つの正の整数a，b，cの最大公約数が1であるとき、次の問いに答えよ。
(2) 
，
，
の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。
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解答 (1)は、「最大公約数が1」と考えると難しいので、否定を考え、「最大公約数が1でない」、つまり、「2以上の最大公約数をもつ」と仮定すると誤りになることを導き、背理法で証明します。(2)は難問です。ここでは調べる対象を限定した上でシラミ潰しでやってみます。
(1) 
，
，
が2以上の公約数mを持つと仮定します。d，e，fを自然数として、 
･･･①の解です。
は①の解なので、
よって、
つまり、aはmの倍数です。
は①の解なので、
よって、
つまり、bはmの倍数です。
は①の解なので、
よって、
つまり、cはmの倍数です。
よって、a，b，cは2以上の公約数mを持つことになり、最大公約数が1という条件と矛盾します。よって、
，
，
が2以上の公約数mを持つとした仮定は誤りです。即ち、
，
，
の最大公約数は1です。
(2) 
，
，
，
，
とおくと、(1)より、k，l，mの最大公約数は1です。 ここで、k，n，dが公約数jを持つとすると、p，q，rを自然数として、
とおけます。
jが5よりも大きい素数(つまり、k，n，dが5以上の素数jを公約数に持つ)だとすると、jは2，3と互いに素なので、②，③，⑤より、k，l，mはjの倍数となり(1)に反します。よって、k，n，dは5以上の素数を公約数に持ちません。
のとき、②，③，⑤より、
，
，
･･･⑥
これより、lは3の倍数です。rがsを自然数として、
とおけるとき、⑥より、 となりmも3の倍数です。このとき、k，l，mは3の倍数となり(1)に反します。
よって
です。このとき、②より、
は3の倍数ですが、9の倍数ではありません。つまり、k，n，dの最大公約数が9になることはありません。
ここで、
とおける(剰余類を参照)とき、⑥より、 より、
は3で割ると1余る数です。
例えば、
のとき、
となりmは3で割ると1余りますが、このとき、
，
，
は、最大公約数3です。
，
のとき、
となりmは3で割ると1余りますが、このとき、
，
，
の最大公約数は6です。 注．
が3で割って1余る数になるのは、a，b，cをそれぞれ3で割った余りの組み合わせが、
，
となる場合です。 また、
とおけるとき、⑥より、 
は3で割ると2余る数ですが、a，b，cがいずれも3で割って2余る数のとき、
は3で割ると2余ります。このとき、
は3の倍数です。例えば、
のとき、
，
，
の最大公約数は6です。注．
が3で割って2余る数になるのは、a，b，cをそれぞれ3で割った余りの組み合わせが、
，
となる場合です。 
のとき、②，③，⑤より、
，
，
･･･⑦
これより、k，mは偶数ですが、仮にqが偶数だとするとlも偶数で、k，l，mが公約数2をもつことになり(1)に反します。よってqは奇数ですが、このとき、②で、
は偶数ですが4の倍数にはなりません。つまり、k，n，dの最大公約数が4になることはありません。
，
が偶数で、
が奇数となるのは、a，b，cのいずれか1個だけが偶数、他が奇数の場合です。例えば、
，
，
の場合、
，
，
の最大公約数は2です。
以上より、
，
，
は、5以上の素数を公約数に持つことはなく、2，3を公約数に持つことはあっても、
，
を公約数に持つことはなく、最大公約数となる可能性のある正の整数は、1，2，3，6に限られます。公約数が5以上の素数になることはないので、a，b，cの1つが5(
が5の倍数)，例えば、
，
としてみると、
，
，
の最大公約数は1になります(他にも、
，
のとき、
，
，
のとき、など)。
，
，
の最大公約数となるような正の整数は、1 (例えば
，
のとき)，2 (例えば
，
，
のとき)，3 (例えば
のとき)，6 (例えば
のとき) ......[答] 注．問題の要求は、最大公約数となる正の整数を求めることで、最大公約数が1，2，3，6以外にはならないことを示し、最大公約数が1，2，3，6になる例を各々1つ挙げればよく、どういう場合に最大公約数が1，2，3，6になるか、ということではないので注意してください。
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，
，
の最大公約数が1であることを示せ。
，
，
より、
，
，
･･･②
∴ 
･･･③
･･･④
･･･⑤
