東工大数学'22年前期[2]
3つの正の整数a,b,cの最大公約数が1であるとき、次の問いに答えよ。
(2)
,
,
の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。
解答 (1)は、「最大公約数が1」と考えると難しいので、否定を考え、「最大公約数が1でない」、つまり、「2以上の最大公約数をもつ」として、背理法で証明します。(2)は難問です。ここではシラミ潰しでやってみます。
(1)
,
,
が2以上の公約数mを持つと仮定します。d,e,fを自然数として、 とおけます。a,b,cは3次方程式:

・・・@の解です。
は@の解なので、
よって、
つまり、aはmの倍数です。
は@の解なので、
よって、
つまり、bはmの倍数です。
は@の解なので、
よって、
つまり、cはmの倍数です。
よって、a,b,cは2以上の公約数mを持つことになり、最大公約数が1という条件と矛盾します。よって、
,
,
が2以上の公約数mを持つとした仮定は誤りです。即ち、
,
,
の最大公約数は1です。
因数分解の公式:
より、 k,n,dが公約数jを持つとすると、p,q,rを自然数として、
とおけます。
jが5よりも大きい素数だとすると、jは2,3と互いに素なので、A,B,Dより、k,l,mはjの倍数となり(2)に反します。よって、k,n,dは5以上の素数を公約数に持ちません。
のとき、A,B,Dより、
,
,
・・・E
これより、lは3の倍数です。rがsを自然数として、
とおけるとき、Eより、 このとき、k,l,mは3の倍数となり(2)に反します。
また
ならば、Aより、dは3の倍数ですが、9の倍数ではありません。つまり、k,n,dの最大公約数が9になることはありません。
とおけるとき、Eより、 より、
は3で割ると1余る数です。
例えば、
のとき、
となりmは3で割ると1余りますが、このとき、
,
,
は、最大公約数3です。
,
のとき、
となりmは3で割ると1余りますが、このとき、
,
,
の最大公約数は6です。
とおけるとき、Eより、
は3で割ると2余る数ですが、Eで
が3の倍数になるのは、a,b,cがいずれも3で割って2余る数のときです。例えば、
のとき、
,
,
の最大公約数は6です。
のとき、A,B,Dより、
,
,
・・・Fk,mは偶数ですが、仮にqが偶数だとするとlも偶数で、k,l,mが公約数2をもつことになり(2)に反します。よってqは奇数ですが、このとき、
は偶数ですが4の倍数にはなりません。つまり、k,n,dの最大公約数が4になることはありません。
,
が偶数で、
が奇数となるのは、a,b,cのいずれか1個だけが偶数、他が奇数の場合です。例えば、
,
,
の場合、
,
,
の最大公約数は2です。
以上より、
,
,
は、5以上の素数を公約数に持つことはなく、2,3を公約数に持つことはあっても、
,
を公約数に持つことはなく、最大公約数となる可能性のある正の整数は、1,2,3,6だけです。公約数が5以上の素数になることはないので、a,b,cの1つが5のとき(
が5の倍数)、例えば、
,
のとき、
,
,
の最大公約数は1になります(他にも、
,
のとき、
,
,
のとき、など)。
,
,
の最大公約数となるような正の整数は、1 (例えば
,
のとき),2 (例えば
,
,
のとき),3 (例えば
のとき),6 (例えば
のとき) ......[答] 注.問題の要求は、最大公約数となる正の整数を求めることで、最大公約数が1,2,3,6以外にはならないことを示し、最大公約数が1,2,3,6になる例を各々1つ挙げればよく、どういう場合に最大公約数が1,2,3,6になるか、ということではないので注意してください。
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